On-line učionica

3. januar 2015.

Neke trigonometrijske smene

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 7:42 pm

Kada se susretnemo sa integralima u kojima figurišu koreni oblika

Formula2056

možemo upotrebiti trigonometrijske funkcije koje eliminišu znak korena. Na primer, da bi eliminisali koren u izrazu

Formula2057

možemo uvesti smenu

Formula2058

koja daje

Formula2059

Razlog za restrikciju

Formula2060

je garancija da je sinusna funkcija bijekcija na datom intervalu, i da ima inverznu.

U tabeli ispod su nabrojane trigonometrijske smene koje nam omogućavaju da se oslobodimo korena gornjeg oblika.

Izraz u integrandu Smena Identitet
Formula2057 Formula2061 Formula2040
Formula2062 Formula2063 Formula2064
Formula2065 Formula2066 Formula2067

U poslednjoj koloni su navedeni trigonometrijski identiteti koji nam ovo omogućavaju. Oni nastaju na osnovu pravouglih trouglova prikazanih na slici ispod. Želimo da se sve smene koje koristimo pri integraciji mogu vratiti, pa moraju biti bijekcije. Donji trouglovi nam mogu pomoći u tome.

Slika457

Primer 1: Izračunajmo

Formula2068

Rešenje: Cilj nam je da se oslobodimo korena. Da bi to uradili, uvešćemo smenu

Formula2069

Naš integral postaje

Formula2070

Sada smo završili sa integracijom. Da bi dobili rešenje, treba da vratimo smenu, to jest da izrazimo kotangens u funkciji od x. Posmatrajući pravougli trougao sa gornje slike, imamo da je drugi trougao pravi, pri čemu je a = 2. Dakle

Formula2071

pa je

Formula2072

Primer 2: Izračunajmo

Formula2073

Rešenje: Ponovo, želimo da eliminišemo koren. Uvodimo smenu

Formula2074

pa integral postaje

Formula2075

setimo se prethodne lekcije i trigonometrijskih integrala

Formula2076

Sada opet pogledamo gornju sliku. Treći trougao predstavlja naš slučaj sa a = √3. Pa je

Formula2077

to jest

Formula2078

Primer 3: Izračunajmo

Formula2079

Rešenje: Smena je

Formula2080

pa integral postaje

Formula2081

Ovde nam je ponovo potrebna smena

Formula2082

i dobijamo

Formula2083

I još jedno vraćanje smene na osnovu slike i prvog trougla u slučaju a = 1.

Formula2084

pa je

Formula2085

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: