On-line učionica

2. januar 2015.

Neki trigonometrijski integrali

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 6:25 pm

Ovde ćemo rešavati integrale oblika

Formula2025

gde su m i n prirodni brojevi. Koristićemo poznate trigonometrijske identitete

Formula2026

Primer 1: Izračunajmo

Formula2027

Rešenje: Koristeći gornje identitete imamo

Formula2028

Slično, drugi integral se može napisati kao

Formula2029

Primer 2: Izračunajmo

Formula2030

Rešenje:

Formula2031

Primer 3: Izračunajmo

Formula2032

Rešenje:

Formula2033

Setimo se da važi

Formula2034

pa imamo

Formula2035

Prvi integral je tablični. Drugi se rešava smenom promenljive

Formula2036

Integral postaje

Formula2037

Da probamo da napravimo pravilo… Ako su m i n prirodni brojevi, onda se integral oblika

Formula2025

rešava na neki od načina prikazanih u donjoj tablici, u zavisnosti od parnosti parametara m i n.

Parnost m i n
Postupak Identiteti
n neparno Smena promenljive Formula2038 Formula2040
m neparno Smena promenljive Formula2039 Formula2041
i m i n parni Smanjiti stepene Formula2026Formula2045

Primer 4: Izračunajmo

Formula2042

Rešenje: Ovde je m neparno. Zato koristimo smenu promenljive

Formula2036

što daje

Formula2043

Primer 5: Izračunajmo

Formula2044

Rešenje: Ovde su i m i n parni. Zato pratimo proceduru iz trećeg reda tabele iznad:

Formula2046

Hajde sada da se pozabavimo i sa negativnim stepenima sinusa i kosinusa. Počećemo sa

Formula2047

Prvi integral se lako rešava smenom promenljive

Formula2036

Integral postaje

Formula2048

Drugi integral, međutim nije tako lak – treba nam mali trik u obliku trigonometrijske formule

Formula2049

i smene

Formula2050

Integral postaje

Formula2051

Primer 6: Izračunajmo

Formula2052

Rešenje: Ovde ćemo koristiti parcijalnu integraciju da bismo smanjili stepen kosinusa. Neka je

Formula2053

Imamo

Formula2054

Odavde je

Formula2055

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: