On-line učionica

16. decembar 2014.

Parcijalna integracija neodređenog integrala

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:25 pm

Ovde ćemo računati integrale koji sadrže proizvod dve funkcije, kao što su

Formula1973

Parcijalna integracija se zasniva na formuli koju smo već izvodili:

Formula1974

Pravilnim izborom za u i dv, drugi integral postaje lakši za računanje. Vežba će pomoći da pravilno izaberete u i dv.

Primer 1: Izračunajmo

Formula1975

Rešenje: Izaberimo

Formula1976

Računamo

Formula1977

Upotebom formule dobijamo

Formula1978

Kako izabrati u i dv da bi uspešno rešili originalni integral? U opštem slučaju, u se bira tako da bude nešto što se uprošćava pri izvođenju, a dv mora ostati moguće za integraljenje. Ako pogledamo prethodni primer, videćemo da smo dobro izabrali, jer smo uspeli da ga rešimo. Ali hajde da pretpostavimo da smo napravili sledeći izbor

Formula1979

Ako sada primenimo formulu, dobićemo

Formula1980

Kao što vidite, drugi integral je ispao komplikovaniji od početnog! To nam govori da smo pogrešno izabrali i moramo da promenimo izbor.

Zapamtite, cilj je da početni integral

Formula1981

zamenimo integralom

Formula1982

koji je lakši za računanje. Evo i pravila koje će vam pomoći: kada birate u, trudite se da bude

Formula1983

Primer 2: Izračunajmo

Formula1984

Rešenje: Izaberimo u … Logaritma nema, arkusa nema, x ima!

Formula1985

Upotrebimo formulu i dobijamo

Formula1986

Primer 3: Izračunajmo

Formula1987

Rešenje: Ovde nam se može učiniti da imamo samo jednu funkciju, ali nije tako. Imamo ln i biramo:

Formula1988

Često koristimo parcijalnu integraciju više puta da bismo izračunali integral, kao u sledećem primeru.

Primer 4: Izračunajmo

Formula1989

Rešenje: Prvo je

Formula1990

Kao što vidite, naš integral je postao jednostavniji, ali nam treba još jedna parcijalna integracija da bismo ga rešili

Formula1991

U stvari, istim postupkom možemo rešiti bilo koji integral oblika

Formula1992

Primer 5: Izračunajmo

Formula1993

Rešenje: Ovde je

Formula1994

Opet

Formula1995

A dešava se i da se malo vrtimo u krug, kao u sledećem primeru.

Primer 6: Izračunajmo

Formula1996

Rešenje: Neka je

Formula1997

Primetite kako smo samo sin zamenili sa cos… Da probamo još jednom

Formula1998

Sada nam se početni integral pojavio ponovo. Ali ne očajavajte, to je samo jednačina koju možemo prosto rešiti.

Formula1999

Dodamo konstantu, i dobijamo rešenje

Formula2000

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: