On-line učionica

14. decembar 2014.

Metoda smene kod neodređenog integrala

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:02 pm

Integracija metodom smene promenljive je verovatno jedan od najmoćnijih alata koji nam je dostupan kod nalaženja integrala. U ovoj metodi, biramo deo integranda koji smenjujemo promenljivom u, a onda ceo integral pišemo u funkciji od u. Teži deo posla je odluka šta je najbolje zameniti sa u. Međutim, uz vežbu, razvićete sposobnost prave odluke.

Ponekad nije lako izračunati integral direktno. Na primer, pogledajmo integral

Formula1953

Jedan od načina da izračunamo ovaj integral je da prvo kvadriramo integrand, a onda upotrebimo tablični integral.

Formula1954

To je bilo lako. Ali, šta da smo imali veći stepen? Npr.

Formula1955

Da li bismo sada prvo dizali binom na 15-ti stepen? To bi bilo nepraktično i predugo bi trajalo. Bolje je smeniti promenljivu. Smena promenljive komplikovan integral, kao što je ovaj gore, pretvara u neki koji je lako izračunati. Da ne teoretišem više o metodi smene promenljive, pređimo na primere…

Primer 1: Izračunajmo:

Formula1956

Rešenje: Neka je

Formula1957

Smenom u integralu dobijamo

Formula1958

Sada rešimo

Formula1959

I na kraju vratimo smenu

Formula1960

Primer 2: Izračunajmo

Formula1961

Rešenje: Neka je

Formula1962

Smenom dobijamo

Formula1963

Pre nego što nastavimo, podsetimo se osnovnih trigonometrijskih integrala:

Formula1964

Primer 3: Izračunajmo

Formula1965

Rešenje: Uvedimo smenu

Formula1966

Smenom dobijamo

Formula1967

Primer 4: Izračunajmo

Formula1968

Rešenje: Opet ista smena

Formula1966

Smenom dobijamo

Formula1969

Primer 5: Izračunajmo

Formula1970

Rešenje: Sličan integral smo već rešavali, ako se sećate…

Formula1971

Smenom dobijamo

Formula1972

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: