On-line učionica

13. decembar 2014.

Integrali koji uključuju logaritamsku, eksponencijalnu i inverzne trigonometrijske funkcije

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 7:03 pm

Nedavno smo posebno ispitivali izvod logaritamske funkcije i tamo smo zaključili da važi:

Formula1931

Zato imamo oblik integrala

Formula1932

što sve proizilazi iz primene metode smene promenljive na tablični integral

Formula1933

Primer 1: Izračunajmo

Formula1934

Rešenje: U opštem slučaju, kada naođemo na integral racionalne funkcije, ako je izvod imenioca jednak brojiocu, možemo direktno napisati rešenje:

Formula1935

Formalno, ovaj integral se rešava metodom smene…

Formula1936

Zamenimo, izračunamo i vratimo…

Formula1937

Napomena: U integralu se u logaritmu nalazi znak apsolutne vrednosti, jer, iako je početna funkcija definisana i za negativne vrednosti izraza u imeniocu, domen logaritamske funkcije nas tera da koristimo samo pozitivne.

Primer 2: Izračunajmo

Formula1938

Rešenje: Izvod imenioca je 8x + 2, a mi imamo 4x + 1. Međutim, ako sve pomnožimo sa 2, možemo pisati:

Formula1939

I ovde smo alternativno, mogli koristiti metodu smene.

Primer 3: Izračunajmo

Formula1940

Rešenje: Da bismo rešili ovaj integral, malo ćemo prepraviti integrand:

Formula1941

Sada je izvod imenioca –sin x, pa moramo da dodamo minus i rešimo:

Formula1942

Kada pričamo o integralima koji uključuju eksponencijalnu funkciju, nećemo izvoditi poseban oblik. Imamo dva tablična integrala:

Formula1943

A evo i ilustracije kako se koriste:

Primer 4: Izračunajmo

Formula1944

Rešenje:

Formula1945

Evo još dva tablična integrala koji uključuju inverzne trigonometrijske funkcije:

Formula1946

Primer 5: Izračunajmo:

Formula1947

Rešenje: Ovde ćemo koristiti smenu. Uzećemo da je

Formula1948

jer se njegovim kvadriranjem dobija izraz koji stoji umesto x u tabličnom integralu. Sada zamenimo, rešimo, vratimo…

Formula1949

Primer 6: Izračunajmo

Formula1950

Rešenje: Kao malopre, uzimamo da je

Formula1951

Zamenimo, rešimo, vratimo…

Formula1952

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: