On-line učionica

10. decembar 2014.

Metode integracije

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 10:55 am

Ovde ćemo proširiti svoje metode za računanje neodređenih integrala. Pogledaćemo nekoliko situacija u kojima računanje integrala zahteva posebne metode. One uključuju integral složene funkcije i integral proizvoda funkcija.

Recimo da treba da izračunamo sledeći integral:

Formula1905

Naša tablica nam ovde ne pomaže ni malo. Ali možemo primetiti da je ovaj integrand oblika

Formula1906

gde su

Formula1907

Pošto tražimo primitivnu funkciju F funkcije f i znamo da je

Formula1908

možemo rešiti naš integral ovako:

Formula1909

Praktično, koristimo metodu smene koju možemo opisati u pet koraka…

Prvo ćemo uvesti smenu

Formula1910

Drugi korak je nalaženje izvoda obe strane

Formula1911

Treće, zamenićemo sva pojavljivanja promenljive x u integralu sa u

Formula1912

Četvrti korak je da izračunamo integral po u

Formula1913

I peto, vratimo x umesto u

Formula1914

Metod smene promenljive je veoma moćan metod koji nam omogućava da rešimo veliki broj integrala, mada ćemo često morati malko više da se pomučimo kod trećeg koraka, kao u sledećem primeru.

Primer 1: Rešimo sledeći neodređeni integral:

Formula1915

Rešenje: Primetimo prvo da je

Formula1916

Iako to nije tačno ono što imamo u integrandu, stvar sa konstantama se lako rešava, kod izvoda i integrala. Zato krenimo

Formula1917

Onda je

Formula1918

Sada možemo da zamenjujemo, vodeći računa o konstantama, i rešavamo

Formula1919

Na kraju sve vratimo u funkciju od x

Formula1920

Nemoguće je izvesti formulu za integraciju proizvoda funkcija

Formula1921

ali možemo dobiti formulu koja je skoro jednako efektna. Setimo se kako smo tražili izvod proizvoda funkcija

Formula1922

Integracijom obe strane, imamo

Formula1923

ili

Formula1924

U cilju lakšeg pamćenja formula, obično je zapisujemo kao

Formula1925

Ovaj metod nazivamo parcijalna integracija. Sledeći primer ilustruje njeno korišćenje.

Primer 2: Upotrebimo parcijalnu integraciju da bismo izračunali

Formula1926

Rešenje: Prvo primetimo kako ni jedan od dosadašnjih metoda nije upotrebljiv u ovom primeru. Međutim, parcijalna integracija će nam pomoći da problem pojednostavimo i svedemo na nešto što ćemo umeti da izračunamo.

Prvo treba da odredimo šta je u, a šta dv. Pošto je cilj pojednostavljenje, pogledajmo u formulu

Formula1925

U integralu ostaje v (integral od dv) i du (izvod od u). Koja funkcija ima jednostavniji izvod, a komplikovaniji integral,

Formula1927

Dakle, biće:

Formula1928

Zamenjujući rezultat u formulu, dobijamo

Formula1929

Sada je lako izračunati dobijene integrale i dobijamo

Formula1930

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: