On-line učionica

7. decembar 2014.

Neodređeni integral

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 3:17 pm

Ideja inverzne operacije operaciji diferencijacije (ili računanja izvoda) funkcije se naziva neodređeni integral. Ovde ćemo uvesti neka pravila koja će nam pomoći u računu i rešavanju zadataka.

Funkcija F(x) se naziva primitivna funkcija funkcije f, ako je

Formula1886sa sve x iz domena funkcije f.

Primer 1: Razmotrimo funkciju

Formula1887

Možemo li da se setimo funkcije F(x), takve da je

Formula1886Rešenje: Evo nekoliko primera:

Formula1888

Pošto potražimo izvod funkcije

Formula1889

videćemo da joj je izvod isti bez obzira na vrednost konstante C.

Gledajući definiciju i početni primer, možemo da formalizujemo definiciju, razvijemo tablicu za računanje i počnemo da je promenjujemo.

Proces nalaženja primitivne funkcije se naziva integracija. Postoji poseban znak i skup simbola kojim označavamo integraciju:

Formula1890

Levu stranu gornje jednakosti nazivamo „neodređeni integral funkcije f po promenljivoj x“. Funkcija f(x) se naziva integrand, a konstanta C konstanta integracije. Na kraju, simbol dx označava da tražimo integral u odnosu na promenljivu x.

Koristeći ove oznake, prvi primer bismo zapisali na sledeći način:

Formula1891

Kao kod izvoda, postoji nekoliko korisnih pravila (koje beležimo u obliku tablice) čije korišćenje nam olakšava računanje i rešavanje zadataka. Prvo od ovih pravila je pravilo integracije stepene funkcije

Formula1892

i kaže sledeće:

Formula1893

Pravilo važi za

Formula1892

Šta se dešava u slučaju kad je n = -1, tj.

Formula1894

Možemo videti da pravilo ne važi pošto dovodi do deljenja sa nulom. Međutim, ako želimo da nađemo taj integral, setimo se da je izvod logaritma ovog oblika. Tačnije

Formula1895

Dakle važi

Formula1896

Dodatno, setimo se i da je osnovna eksponencijalna funkcija

Formula1897

bila posebna po tome što joj je izvod jednak njoj samoj. Dakle imamo:

Formula1898

Kao kod izvođenja, možemo izvesti nekoliko pravila koja se bave sumom konačnog broja integrabilnih funkcija.

Ako su f i g integrabilne i C je konstanta, onda

Formula1899

Primer 2: Izračunajmo sledeći neodređeni integral:

Formula1900

Rešenje: Korišćenjem gornjih pravila imamo:

Formula1901

Ponekad pravila možemo malo da modifikujemo da bi se izborili sa konstantama, kao u sledećem primeru.

Primer 3: Izračunajmo sledeći neodređeni integral:

Formula1902

Rešenje: Primetimo prvo da ne možemo direktno primeniti tablični integral, jer je

Formula1903

Međutim, mogli bismo da napravimo nešto ovako:

Formula1904

Ovakve probleme ćemo inače rešavati na drugačiji način, ali dobro je da znamo kraći postupak za jednostavne primere.

2 komentara »

  1. Jedino bi bilo korektnije da je int(1/x) = ln(abs x)… pogledajte, pa korigujte🙂

    Komentar od noviinternet — 8. decembar 2014. @ 9:23 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: