On-line učionica

15. oktobar 2014.

Površina i zapremina sličnih tela

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:45 am

Setimo se da su dve figure slične, ako su im svi odgovarajući uglovi podudarni i odgovarajuće stranice proporcionalne.

Dva tela su slična ako i samo ako pripadaju istom tipu tela i njihove odgovarajuće linearne mere (dužine ivica, dijagonala, visina, …) su proporcionalne.

Primer 1: Da li su sledeća dva kvadra slična? Kako znamo?

Slika448

Rešenje: Uparimo odgovarajuće mere da bi proverili.

Formula1805

Proporcionalnost nam govori da ova dva kvadra jesu slična.

Primer 2: Odredimo da li su sledeće trostrane piramide slične.

Slika449

Rešenje: Kao i malopre, uporedimo odgovarajuće mere:

Formula1806

Pošto proporcije nisu iste, ove trostrane piramide nisu slične.

Setimo se još da ako su dve figure slične, onda je odnos njihovih površina jednak kvadratu koeficijenta sličnosti.

Slika451Na primer, dva pravougaonika levo su slična jer su njhove stranice u odnosu 8 : 5. Površina većeg pravougaonika je

Formula1809

a površina manjeg pravougaonika je

Formula1810

Ako uporedimo površine, dobijamo razmeru

Formula1811

Dakle, šta se dešava sa površinama tela? Pogledajmo ponovo prvi primer.

Primer 3: Nađimo odnos površina dva kvadra iz prvog primera.

Rešenje:

Formula1807

Odnos površina je

Formula1808

Pošto je odnos stranica 2 : 3, površine sličnih tela se ponašaju isto kao površine sličnih figura.

Ako su dva tela slična sa koeficijentom sličnosti k, onda su njihove površine u razmeri k2.

Da vidimo šta smo otkrili o sličnim telima do sada

Razmera Jedinice
Koeficijent sličnosti k cm, m, …
Razmera površina k2 cm2, m2, …
Razmera zapremina ??? cm3, m3, …

Izgleda da imamo pravilo. Ako razmera zapremina prati pravilo, trebalo bi da predstavlja kub koeficijenta sličnosti. Uradimo primer da testiramo teoriju.

Primer 4: Nađimo razmeru zapremina kvadara iz prvog primera.

Rešenje:

Formula1812

I razmera je

Formula1813

Izgleda da je naša pretpostavka bila tačna. Napomenuću ovde da gornje izlaganje nije dokaz!

Ako su dva tela slična sa koeficijentom sličnosti k, onda su njihove zapremine u razmeri k3.

Primer 5: Ako je razmera zapremina dve slične prizme 125 : 8, koliki je koeficijent sličnosti?

Rešenje: Treba samo da izvadimo kubni koren iz date proporcije

Formula1814

Primer 6: Na slici ispod su prikazane dve slične trostrane prizme. Ako je razmera njihovih zapremina 343 : 125, nađimo nedostajuće dimenzije.

Slika449

Rešenje: Ako je razmera zapremina 343 : 125, onda je koeficijent sličnosti 7 : 5. Sada možemo postaviti nekoliko proporcija (i jednu Pitagorinu teoremu)

Formula1815

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: