On-line učionica

6. oktobar 2014.

Zapremina prizmi

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 1:15 pm

Zapremina je mera prostora koji zauzima neko trodimenzionalno telo.

Drugi način da definišemo zapreminu bi bilo koliku količinu, na primer vode ili peska možemo sipati u neko trodimenzionalno telo. Osnovna jedinica mere zapremine je kubna „jedinica“: kubni centimetar (cm3), kubni metar (m3), itd. Svaka osnovna kubna „jedinica“ ima tri mere po jedan: dužinu, visinu i širinu.

Osobine zapremine:

  • Zapremina kocke je kub dužine njene ivice, ili a3.

Ono što nam ova osobina govori jeste da se svako telo može „razbiti“ u kockice, osnovne mere zapremine, kubne jedinice. Na primer, ako želimo da nađemo zapreminu kocke ivice 1 cm, to bi bilo 13 = 1 cm3. Ako želimo da nađemo zapreminu kocke ivice 9 cm, to bi bilo 93 = 729 cm3.

  • Ako su dva tela podudarna, onda ona imaju istu zapreminu.
  • Zapremina složenog tela je jednaka sumi zapremina njegovih nepreklapajućih delova.

Primer 1: Nađimo zapreminu kvadra na slici ispod.

kvadar

Rešenje: Kvadar se može napraviti od jediničnih kockica. Da bi našli zapreminu, prosto prebrojimo kockice. Jedan sloj ima 20 kockica, odnosno 4 reda po 5 kockica, a ima 3 sloja, što je visina. Zato imamo 60 kockica u kvadru, pa je njegova zapremina 60 kubnih jedinica.

Ali, šta da nismo imali kockice? Hade da uopštimo ovu formulu za proizvoljan kvadar. Primetite kako svaki sloj ima površinu baze. A to smo pomnožli sa visinom. Eto naše formule.

Zapremina kvadra visine c, širine b i dužine a, iznosi

Formula1787

Primer 2: Kutija od cipela ima dimenzije 24 cm sa 42 cm, sa 18 cm. Kolika je zapremina kutije?

Rešenje: Možemo pretpostaviti da je kutija od cipela kvadar. Zato možemo upotrebiti gornju formulu:

Formula1788

Ako dalje analiziramo formulu za zapreminu kvadra, videćemo da je a · b u stvari površina osnove (baze) prizme, pravougaonika. Ako baza nije pravougaonik, sve će i dalje važiti, mada moramo malo da promenimo formulu.

Zapremina prizme površine osnove B i visine H, iznosi

Formula1789

Primetite kako B neće uvek imati istu formulu. Zato, da bismo našli zapreminu prizme, prvo ćemo naći površinu osnove, a onda ćemo je pomnožiti sa visinom.

Primer 3: Imamo mali šator oblika trostrane prizme. Koliku zapreminu zauzima, kada se postavi?

Šator

Rešenje: Prvo nam treba površina osnove. To će biti trougao:

Formula1790

Množenjem ovoga sa 7, dobićemo ukupnu zapreminu. Zapremina iznosi 42 m3.

Iako visina u ovom zadatku ne izgleda „visoko“, ona to jeste, kada mislimo na formulu. Obično je visina poslednja mera koju treba da iskoristimo.

Primer 4: Nađimo zapreminu pravilne šestostrane prizme osnovne ivice 6 i visine 3.

Rešenje: Prvo da skiciramo:

Prizma6

Setimo se da se pravilni šestougao sastoji od šest pravilnih trouglova. Zato je površina osnove:

Formula1791

A onda je zapremina:

Formula1792

Setimo se da smo ranije pominjali kose prizme. Ove prizme se „naginje“ na jednu stranu i njena visina izlazi van prizme. Šta bi bila zapremina kose prizme? Da bi odgovorili na ovo pitanje, treba nam Kavalijerijev princip. Pogledajte gomile knjiga na slici ispod.

za mamu

Obe gomile imaju po 11 istih knjiga, pa će imati istu zapreminu. Međutim, jedna od gomila se „krivi“. Kavalijerijev princip kaže da ovo nije bitno, sve dok su visine iste i svaki horizontalni presek ima istu površinu, i zapremine će biti iste.

Kavalijerijev princip glasi: Ako dva tela imaju istu visinu i istu površinu horizontalnog preseka na istoj visini, onda će imati istu zapreminu.

Suštinski, ako kosa i prava prizma imaju istu površinu osnove i visinu, imaće istu zapreminu.

Primer 5: Nađimo zapreminu kose prizme na slici ispod:

KosaPrzma

Rešenje: Ovo je kosa prizma sa pravouglim trapezom kao osnovom. Prvo ćemo naći površinu trapeza:

Formula1793

Onda ćemo to pomnožiti sa visinom:

Formula1794

Napomena: Posebnu zahvalnost dugujem Prijatelju bloga na modelima prizmi, kao i mojoj ćeri Uni na fenomenalnoj fotografiji padajućih knjiga🙂

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: