On-line učionica

28. septembar 2014.

Inverzna funkcija

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 1:48 pm

Do sada ste verovatno puno puta koristili izraz „inverzno“. Množenje i deljenje su međusobno inverzne operacije. Ima još primera kao što su sabiranje i oduzimanje i kvadrat i kvadratni koren. Proširićemo ovu ideju na funkcije. Inverzna relacija je preslikavanje slika u originale, čime pravimo novu relaciju. Drugim rečima, x i y zamene mesta.

Primer 1: Nađimo relaciju inverznu relaciji

Formula1742

Rešenje: Inverz ove relacije se dobija kada x i y vrednosti zamene mesta, pa dobijamo relaciju „S na minus prvi“

Formula1743

Hajde da nacrtamo obe relacije u koordinatnoj ravni zajedno sa pravom x = y:

Slika440

Plave tačke predstavljaju relaciju S, a crvene njen inverz. Primetite da su crvene tačke dobijene simetričnim preslikavanjem plavih tačaka preko prave y = x. Svi inverzi poseduju ovu osobinu.

Kada bismo presavili papir po pravoj y = x, sve tačke relacije S bi se preklopile sa svojim inverzom. Tačka (2, 2) leži na osi simetrije, pa nema svoj inverz, to jest inverz je sama sebi. Isto bi se desilo i sa svim tačkama prave y = x.

Posmatrajući obe relacije, primećujemo da su obe funkcije. Kada su i relacija i njoj inverzna relacija funkcije, za funkciju kažemo da je jedan-jedan. Svaki original je jedinstven i ima tačno jednu sliku.

Primer 2: Nađimo inverznu funkciju funkciji

Formula1731

Rešenje: Prvo ćemo malo da crtamo… Ucrtaćemo funkciju u koordinatni sistem i osu y = x. Onda ćemo izabrati dve tačke i preslikati ih preko ose simetrije (menjajući im x i y koordinatu). Tako ćemo dobiti grafik inverzne funkcije.

Slika441

Na kraju, sa grafika možemo pročitati formulu inverzne funkcije:

Formula1744

Možda primećujete kako su koeficijenti pravca funkcije i njenog inverza međusbno recipročne vrednosti. To će uvek važiti za linearnu funkciju. Takođe, preseci sa osama menjaju mesta.

Drugi način: Sada ćemo „ozbiljno“ rešiti primer.

Prvo ćemo umesto f(x) pisati y:

Formula1745

Onda ćemo iz dobijene jednačine izračunati x:

Formula1746

Nakon toga, zamenimo oznake x i y:

Formula1747

I na kraju umesto y pišemo:

Formula1744

Na ovaj način se mogu naći inverzi svih funkcija, ne samo linearnih.

Primer 3: Odredimo da li su

Formula1748

međusobno inverzne.

Rešenje: I za ovaj primer postoje dva načina rešavanja – prvi je da nađemo inverznu funkciju prve funkcije i proverimo da li je jedaka drugoj.

Formula1749

Dakle,

Formula1750

pa su f i g međusobno inverzne funkcije.

Drugi, i ujedno lakši način je da koristimo kompoziciju funkcija. Ako je

Formula1751

za sve x onda su f i g međusobno inverzne. Razmislite, ako se neki original preslika u svoju sliku, a onda se drugom funkcijom preslika opet u isti original x, to onda čini ove funkcije „suprotnim“ jednu drugoj, to jest međusobnim inverzima.

Formula1752

Pošto smo dobili samo x, ove dve funkcije su međusobno inverzne.

3 komentara »

  1. Imam jedno pitanje, a Vas sajt mi dosta pomaze, pa sam htela da ga postavim ovde. Sto se tice direktne i inverzne slike skupa, zasto je (f^(-1))(f(A)) nadskup od A, a nije =A? Ima li neki primer koji moze ilustrovati odgovor? Hvala puno.

    Komentar od :)) — 3. januar 2015. @ 9:27 pm | Odgovor

    • Nisam sigurna da si u pravu… Da nije podskup, a ne nadskup?
      Naime, ako je f::A->B bijekcia, svakako će biti =A.
      Ako nije, onda f ili nije „na“ ili nije „1-1“.
      Ako f nije „na“, onda u skupu B ima „viška“ elemenata, ali oni i onako ne pripadaju skupu f(A), pa nije bitno.
      Ako f nije „1-1“, onda će biti dva elementa x1,x2 iz A koji imaju istu sliku y u B. Tada, da bi f^-1 bilo definisano, y će se inverzno slikati u samo jedan od elemenata x1, ili x2. I time imamo „višak“ elemenata u A, pa je f^-1(f(A)) podskup od A.
      Na primer, f(x) = x^2, A={-1, 0, 1}, f^-1(f(A))=koren iz {0,1}={0,1} što je podskup od A.

      Komentar od jelena100janovic — 4. januar 2015. @ 5:22 pm | Odgovor

  2. […] Inverzne funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 26. septembar 2015. @ 10:37 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: