On-line učionica

26. avgust 2014.

Relacije i funkcije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:38 pm

Funkcije su veoma važan deo matematike. Tokom srednje škole izučavaćete nekoliko različitih tipova funkcija: linearne, kvadratne, trigonometrijske i mnoge druge, posebno u četvrtom razredu.

Odnekud moramo početi: svaki skup uređenih parova (ili tačaka u ravni) se naziva relacija (ili preslikavanje). Relacija je takav skup tačaka koje su u nekom odnosu, ili imaju nešto zajedničko među sobom. Evo nekoliko primera.

Formula1679

Kada god pričamo o nekom skupu, koristimo { } ili vitičaste zagrade. Među primerima iznad imate dva takva skupa tačaka. Ali svih 6 primera jesu primeri relacija. Preslikavanja takođe imaju „originale“ i „slike„. Tipično, originali se označavaju sa x (i njihov skup nazivamo domen ili oblast definisanosti), a slike se označavaju sa y (i njihov skup nazivamo kodomen ili oblast vrednosti). Za originalnu vrednost kažemo i nezavisna promenljiva, a za sliku zavisna promenljiva. Da ponovimo, vrednost y zavisi od vrednosti x. Zato u primerima gore ako umesto x zamenimo -1, možemo izračunati koliko je y.

Funkcije su posebna vrsta relacija. Funkcija je preslikavanje u kome postoji tačno jedna slika za svaki original. Relacija ne može biti funkcija ako postoji samo jedan original za koji postoji više od jedne slike. Jednostavno rečeno: ako se ponovi vrednost x, onda i vrednost y mora biti ista. Matematički zapisano:

Formula1680

Kada je funkcija prikazana jednačinom, umesto y se ponekad piše f(x) (čita se „f od x„). Od sada ćemo ovu oznaku češće koristiti.

Primer 1: Uporedite prva dva primera relacija odozgo:

Formula1681

Jedna od njih je funkcija, a druga nije. Koja je funkcija?

Rešenje: Pogledajmo oba skupa tačaka, tačnije vrednosti x. U drugom skupu se vrednost

Formula1682

ponavlja u drugom i trećem uređenom paru. To znači da se nula preslikava u dve različite vrednosti. To dalje znači da drugi skup nije funkcija. Prvi jeste.

Primer 2: Ispod su dijagramom prikazana dva preslikavanja. Koje od njih predstavlja funkciju?

Slika430

Rešenje: Setite se kako smo definisali funkciju: „ne može biti funkcija ako postoji samo jedan original za koji postoji više od jedne slike“. Prvi primer ima original sa dve slike. Zato nije funkcija. Drugi primer za svaki original ima tačno jednu sliku. Dakle, drugi primer je funkcija.

Mogli smo ovo da rešimo i tako što ćemo relacije predstaviti kao skupove uređenih tačaka i primenimo isti postupak kao u primeru 1. Na primer, sa prve slike možemo pročitati:

Formula1683

Pošto se vrednost

Formula1684

ponavlja sa različitim slikama, ovo nije funkcija.

Istu ideju možemo primeniti i na jednačine. Svaka jednačina jeste relacija, ali ne mora biti funkcija. Jednostavan način da to odredimo je pomoću grafika, odnosno slike skupa u koordinatnom sistemu. Kada nacrtamo relaciju u koordinatnom sistemu, na x-osi ćemo imati originale, a na y-osi slike. Onda možemo videti da li svaki original ima tačno jednu sliku, ili više.

Primer 3: Odrediti da li je relacija odozgo,

Formula1685

funkcija.

Rešenje: Uz malu pomoć Google-a, saznajemo da je grafik jednačine

Formula1685

krug sa centrom u koordinatnom početku, poluprečnika 3:

Slika431

Ako izaberemo nekoliko x-vrednosti i potražimo njihove slike, videćemo da neke od njih imaju po dve:

Slika432

Ovo nam govori da gornja relacija nije funkcija.

Mali problem sa ovom metodom je u tome što mi (još uvek) ne umemo da crtamo grafike relacija, to jest mi bez pomoći, ne znamo kako izgleda grafik date jednačine. Zato moramo da zamislimo da želimo da ga nacrtamo i da bi to uradili, treba nam da izaberemo x i izračunamo y. Ako to pokušamo, dolazimo do ovakve jednačine:

Formula1686

Pošto smo dobili da y možemo izračunati kao:

Formula1687

znači da imamo dve vrednosti, pa relacija nije funkcija. Međutim, posebno posmatrano, svaka od novonastalih jednačina – relacija jeste funkcija. Inače, na grafiku predstavljaju gornju i donju polovinu kruga.

1 komentar »

  1. […] Definicija relacije i funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 26. septembar 2015. @ 10:37 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: