On-line učionica

27. jul 2014.

Jedinični vektor i razlaganje vetora

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 1:11 pm

Jedinični vektor je vektor proizvoljnog pravca i smera čiji je intenzitet jedan. Po dogovoru, jedinični vektor u pravcu i smeru x ose se označava sa Formula1657, a u pravcu i smeru y ose sa Formula1658. Dakle, važi:

Formula1659

Jedinični vektori koordinatnog sistema se mogu koristiti za predstavljanje proizvoljnog vektora na jedinstven način. U trodimenzionalnom prostoru, za jedinični vektor z ose, koristimo oznaku Formula1660. Ovde nećemo proučavati 3D prostor. To ćemo ostaviti za treći razred. Jedinični vektori koordinatnih osa nose određeni pravac i smer, a broj ispred njih intenzitet vektora u tom pravcu. Jedinični vektori koordinatnog sistema su zgodni za predstavljanje vektora kao sume dva ortogonalna vektora.

Razlaganje datog vektora je upravo predstavljanje tog vektora kao sume dve komponente (vektora određenog pravca i smera). Ta suma predstavlja originalni vektor. Pošto komponente mogu imati proizvoljan pravac i smer, zgodno je da budu međusobno normalni. Obično se biraju pravac i smer osa koordinatnog sistema, ali komponente ne moraju da budu međusobno normalne, ni jedinične.

Primer 1: Predstavimo vektore (8, 0), (0, 6) i (8, 6) preko jediničnih vektora osa.

Rešenje:

Slika411

Sada je jasno da je:

Formula1661

Ortogonalne komponente koristimo zato što nam je tako lakše da računamo intenzitet početnog vektora, preko Pitagorine teoreme.

Možemo posmatrati bilo koji vektor u ravni kao rezultantu dve ortogonalne komponente. Ako uopštimo sliku odozgo,

Slika412

vidimo da su horizontalna i vertikalna komponenta vektora Formula1662:

Formula1663

Odatle vidimo da se svaki vektor može napisati kao proizvod svog intenziteta i jediničnog vektora istog pravca i smera. Odatle imamo da se jedinični vektor određenog pravca i smera (datog proizvoljnim vektorom) može dobiti kao:

Formula1664

Takođe, vidimo da se razlaganje proizvoljnog vektora po komponentama može pisati kao:

Formula1665

Rekli smo da komponente ne moraju biti ni jedinični vektori, niti međusobno normalni. Da pogledamo…

(naredni primer je preuzet iz Matematike 3, zbirke zadataka i testova za III razred gimnazija i tehničkih škola, Ž. Ivanović, S. Ognjanović, Krug, Beograd)

Primer 2: Razložiti vektor

Formula1666

po datim komponentama:

Formula1667

Rešenje: Prvo da rešimo zadatak grafički, da vidimo kako to izgleda u koordinatnom sistemu:

Slika413

Odavde vidimo da je:

Formula1668

Moram da napomenem da ovo nije korektno rešen zadatak, već samo grafički prikaz rešenja. Zvanično, zadatak rešavamo tako što pretpostavimo da smo razložili vektor:

Formula1669

Zatim, zamenimo kordinate vektora:

Formula1670

Rešimo vektorsku jednačinu:

Formula1671

Na kraju, dva vektora su jednaka, ako su im koordinate jednake:

Formula1672

I dobili smo razlaganje:

Formula1668

Isto kao i kod grafičkog prikaza, dakle rešenje je tačno.🙂

1 komentar »

  1. […] Jedinični vektori […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 10:09 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: