On-line učionica

16. jul 2014.

Vektori

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:15 pm

Zamislite dva jedrenjaka. Mogli bismo ih predstaviti pomoću tačaka, a njihovo rastojanje jednom duži. Međutim, u realnoj situaciji, te veličine (pozicija jedrenjaka i njihovo rastojanje) zavise od još nekih faktora, kao što su njihova brzina, pravac i smer u kome se kreću, kao i pravac, smer i brzina vetra. Potreban nam je novi matematički alat koji bi prikazivao ne samo pravac, već i smer i jačinu neke sile. Zato su nam potrebni vektori. Vektori dobro predstavljaju odnose fizičkih veličina kao što su brzina, ubrzanje i promena položaja.

Svaka veličina za koju je bitan i pravac i smer zahteva korišćenje vektora. Vektor je bilo koja veličina koja ima pravac, smer i intenzitet. Često se koriste u nauci, posebno u fizici, mehanici, elektronici, hemiji, i svuda gde je potrebno opisati neko kretanje (da li brzinu, ubrzanje, ili silu) i pravac i smer tog kretanja.

U nekoliko sledećih lekcija proučavaćemo kada i kako se vektori koriste. Učićemo da ih sabiramo, oduzimamo i, uopšte, kako da dobijemo rezultantu dva vektora. Takođe ćemo uraditi nekoliko primera njihove primene.

Vektor grafički predstavljamo strelicom, ili usmerenom duži. Usmerena duž ima i pravac i smer i intenzitet. Intenzitet se odnosi na njenu dužinu i zavisi od skale, tj. dogovora o predstavljanju dužine.

Severozpadni vetar jačine 5 m/s bi mogli predstaviti ovako:

Slika391

Ako zanemarimo sve ostale sile koje deluju na neki objekat, on bi se na osnovu sile vetra kretao u pravcu jugoistoka brzinom od 5 m/s. Zato možemo reći da isti vektor predstavlja i promenu položaja objekta. Kao i nekog drugog objekta.

Na osnovu rečenog, možemo zaključiti da za vektor nije bitna početna tačka, već samo pravac smer i intenzitet pomeraja (brzine, ubrzanja, sile, …). Zato svaki vektor možemo predstaviti u koordinatnom sistemu i to tako da mu je početna tačka koordinatni početak. Koordinate tačke u kojoj se vektor završava zovemo krajnjom tačkom, a sam vektor vektorom položaja te tačke.

Slika392

Ako su nam poznate koordinate početne i krajnje tačke nekog vektora, onda možemo i da mu izračunamo intenzitet.

Svi vektori imaju intenzitet. On označava dužinu pomeraja, jačinu brziine, ubrzanja, ili sile koju predstavlja. Računamo je kao rastojanje početne i krajnje tačke vektora, pomoću Pitagorine teoreme. Znamo iz fizike da sve ove veličine mogu imati i negativnu vrednost (npr. negativno ubrzanje), ali uvek možemo promeniti smer vektora i dodeliti mu pozitivni intenzitet. Zato se intenzitet vektora još naziva i apsolutna vrednost vektora.

Primer 1: Naći intenzitet vektora položaja tačke (5, 6).

Rešenje: Traži se intenzitet vektora položaja, što znači da vektor počinje u koordinatnom početku:

Slika393

Na slici uočavamo pravougli trougao, čitamo mu dimenzije kateta i računamo:

Formula1637

Primetite da za oznaku vektora koristimo slova v, w, u, … sa strelicom iznad, a intenzitet označavamo kao apsolutnu vrednost bilo kog broja.

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer i intenzitet.

Primer 2: Odredimo da li su sledeća dva vektora jednaka:

Formula1638 – vektor položaja tačke (-4, 12) i

Formula1639 – vektor od tačke (6, -9) do tačke (2, 3)

Rešenje: Nacrtajmo oba vektora i identifikujmo karakteristične pravogle trouglove:

Slika395

Pošto karakteristični trouglovi imaju jednake katete, a i orijentisani su u istom pravcu i smeru, možemo zaključiti da su i vektori jednaki.

Moram da napomenem da rešenje poslednjeg primera nije striktno matematički korektno i oslanja se na intuiciju, što je za sada dovoljno.

1 komentar »

  1. […] Pojam vektora […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 10:09 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: