On-line učionica

3. maj 2014.

Malo o eksponencijalnim jednačinama i funkcijama

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:25 pm

Rešiti eksponencijalnu jednačinu znači odrediti vrednost x za datu vrednost funkcije. Na primer, ako imamo jednačinu

Formula1559

njeno rešenje je vrednost za x koja pretvara jednačinu u tačnu jednakost. U ovom slučaju, rešenje je x = 3, jer je 23 = 8.

Razmotrimo malo komplikovaniju jednačinu

Formula1560

Možemo je rešiti tako što ćemo obe strane napisati kao stepene dvojke:

Formula1561

Da bismo završili posao, treba da se setimo da važi:

Formula1562

Odnosno, ako su dva stepena sa istom osnovom jednaka, i eksponenti moraju biti jednaki. Ovo nam pomaže da rešimo:

Formula1563

Primer 1: Rešimo jednačinu

Formula1564

Rešenje: Koristićemo isti postupak kao gore:

Formula1565

U svim dosadašnjim primerima, bilo je moguće rešiti jednačinu, jer smo mogli da obe strane jednakosti napišemo kao stepen iste osnove. Ali šta ako to nije moguće?

Razmotrimo na primer jednačinu

Formula1566

Ako pokušamo da nađemo vrednost za x razmatrajući stepene trojke, brzo bismo otkrili da rešenje nije ceo broj. Kasnije ćemo učiti kako se rešavaju komplikovanije eksponencijalne jednačine. Ovde ćemo se zadržati na jednostavnijim primerima u cilju ispitivanja grafika eksponencijalne funkcije.

Pre nego što počnemo, da se podsetimo šta sve treba ispitati: domen, kodomen, preseke sa osama (za to nam treba jednačina), znak, monotonost i konveksnost.

Primer 2: Skicirajmo grafik i ispitajmo funkciju:

Formula1567

Rešenje: Grafik ćemo dobiti skupljanjem osnovne funkcije 3 puta, pomeranjem nadesno za 1 i nadole za 1:

Slika384

Domen funkcije nema ograničenja, dakle je skup realnih brojeva.

Kodomen bi bio ograničen nulom, da nismo pomerali grafik nadole. Ovako je y > -1.

Grafik seče y-osu za x = 0:

Formula1568

a x-osu za y = 0:

Formula1569

Znak funkcije:

Formula1570

Funkcija je rastuća i konveksna na celom domenu.

U svim primerima koje smo do sad razmatrali, osnova su bili prirodni brojevi. Sada ćemo ispitati podvrstu eksponencijalnih funkcija sa neobičnom bazom: brojem e.

Broj e i funkcija y = ex

Broj e dosta liči na broj π. Prvo, oba su iracionalni brojevi: ne mogu se izraziti u obliku razlomka. Drugo, oba broja su transcedentna: ne mogu se dobiti kao rešenje bilo koje polinomijalne jednačine sa racionalnim koeficijentima.

Kao i π, matematičari su otkrili još jednu prirodnu konstantu, broj e. Jedan od načina da „otkrijete“ broj e je ispitivnanje funkcije

Formula1571

Grafik ove funkcije je prikazan ispod.

Slika385

Primetite kako se, dok x raste, grafik sve više približava horizontalnoj asimptoti oko y = 2,7. Ako izračunate nekoliko vrednosti funkcije, videćete da ta granica nije baš 2,7:

x  0 1 2 5 10 50 100 1000 5000 10.000 50.000
y

nije definisano

 2 2,25 2,48832 2,59374 2,69169 2,70481 2,71692 2,71801 2,71815 2,71818

Oko x = 100, vrednost funkcije prelazi 2,7, ali nikada ne dostiže 2,8. Granična vrednost funkcije, dok x raste, je upravo konstanta e. Vrednost broja e je približno 2.71828182845904523536. Ponovo, kao i za π, moramo da koristimo približnu vrednost za broj e, jer je iracionalan.

Broj e se koristi kao osnova funkcija koje mogu da se koriste kao modeli situacija u kojima se pojavljuje porast ili pad. Na primer, jedan od načina računanja kamate na bankovnom računu koristi ovaj broj. Ovde ćemo ispitati funkciju y = ex da bismo potvrdili da je njen grafik sličan drugim eksponencijalnim funkcijama koje smo skicirali.

Na grafiku ispod je prikazana funkcija y = ex, zajedno sa y = 2x i y = 3x.

Slika386

Grafik funkcije y = ex (zeleni) ima isti oblik kao grafici ostalih eksponencijalnih funkcija. Nalazi se između grafika druge dve funkcije, nešto bliži y = 3x nego y = 2x. Sva tri grafika seku y-osu u istoj tački: (0, 1). Dakle, grafik ove funkcije očigledno pripada istoj vrsti, iako je osnova funkcije iracionalan broj.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: