On-line učionica

18. april 2014.

Eksponencijalne funkcije

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:09 pm

U nekoliko narednih lekcija ćemo učiti o eksponencijalnim funkcijama, familiji funkcija koje do sada nismo proučavali. Kada govorimo o obliku jednačine, eksponencijalne funkcije se razlikuju od drugih familija funkcija po tome što sadrže x u eksponentu. Na primer, funkcije

Formula1524

su eksponencijalne funkcije. Ove funkcije se mogu koristiti kao modeli realnih situacija, kao što je porast populacije, složeni kamatni račun ili raspad radioaktivnih materijala. U prvih nekoliko lekcija videćemo osnovne primere ovih funkcija, crtaćemo grafike i rešavati neke jednostavnije jednačine. Ovaj uvodni deo vas priprema za ozbiljnije proučavanje kasnije.

Računanje eksponencijalnih funkcija

Razmotrimo funkciju

Formula1525

Kada zamenimo vrednost umesto x, vrednost funkcije dobijamo dizanjem broja 2 na x-ti stepen. Na primer, ako je

Formula1526

Ako izaberemo veće vrednosti za x, dobićemo veće vrednosti funkcija, pošto će vrednosti predstavljati veće stepene od 2. Na primer,

Formula1527

Razmotrimo sada manje vrednosti x. Ako je

Formula1528

Ako je

Formula1529

Ako biramo sve manje i manje vrednosti za x, vrednosti funkcije će biti sve manji i manji razlomci. Na primer, ako je

Formula1530

Primetite kako ni jedna od vrednosti x koje biramo neće dati rezultat 0. To se dešava zato što je brojilac razlomka uvek 1. Ovo nam govori da je domen ove funkcije skup svih realnih brojeva, dok je kodomen ograničen na skup pozitivnih realnih brojeva. U sledećem primeru ćete proučavati vrednosti slične funkcije.

Primer 1: Za funkciju

Formula1531

nađimo vrednosti

Formula1532

Rešenje:

Formula1533

Vrednosti funkcije

Formula1531

se ponašaju slično kao za

Formula1525

ako izaberemo veće vrednosti, dobićemo sve veće i veće rednosti funkcije. Ako je x = 0, vrednost funkcije je 1. S druge strane, ako biramo sve manje i manje vrednosti za x, vrednosti funkcije će biti sve manji i manji razlomci. Takođe, kodomen

Formula1531

je ograničen na pozitivne vrednosti.

U opštem slučaju, ako imamo funkciju oblika

Formula1534

gde je a pozitivni realan broj, domen funkcije je skup svih realnih brojeva, a kodomen je ograničen na skup pozitivnih realnih brojeva. Ovo ograničenje će dovesti do posebnog oblika grafika.

Grafik osnovnih eksponencijalnih funkcija

Razmotrimo sada grafik funkcije

Formula1525

Gore smo našli nekoliko vrednosti funkcije i počeli smo analizu funkcije u smislu velikih i malih vrednosti x. Grafik ispod prikazuje ovu funkciju, sa nekoliko istaknutih tačaka.

Slika378

Primetite da, kako x raste, i funkcija beskonačno raste. Međutim, kako x opada, vrednosti funkcije se približavaju nuli. Zato funkcija za asimptotu ima x-osu. Ovo je grafička posledica činjenice da je kodomen funkcije ograničen na pozitivne vrednosti y. Razmotrimo sada grafike funkcija

Formula1535

Primer 2: Nacrtajmo grafike funkcija

Formula1536

na istom grafiku. Po čemu su slični, a kako se razlikuju?

Rešenje: Grafici funkcija

Formula1536

su prikazani ispod.

Slika379Grafici tri funkcije imaju isti opšti oblik: isto se ponašaju na krajevima i sve sadrže tačku (0, 1). Razlika leži u brzini rasta. Primetite kako za pozitivne vrednosti x,

Formula1537

raste najbrže, a

Formula1525

raste najsporije. Vrednosti funkcije

Formula1537

su najviše, a vrednosti funkcije

Formula1525

su najmanje za proizvoljnu vrednost x. Za negativne vrednosti x, odnos se menja:

Formula1525

ima najveće vrednosti od tri funkcije.

Sada kada smo ispitali ova tri osnovna grafika, skiciraćemo grafike pomoću pomeranja, simetrija, širenja i skupljanja.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: