On-line učionica

25. februar 2014.

Iracionalne jednačine

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:51 pm

Kada se promenljiva u jednačini pojavljuje unutar znaka za koren, jednačina se naziva iracionalna jednačina. Da bi rešili iracionalnu jednačinu, potrebno je da se oslobodimo korena i pretvorimo jednačinu u jednačinu sa polinomom.

Uobičajen način rešavanja iracionalne jednačine je da izolujemo najkomplikovaniji koren na jednoj strani jednačine i dignemo celu jednačinu na stepen koji eliminiše koren. Ako u jednačini ostane neki koren posle uprošćavanja, možemo ponavljati ovaj postupak sve dok se ne izgube svi koreni. Kada prevedemo jednačinu u jednačinu sa polinomom, možemo je rešiti postupcima koje već poznajemo.

Moramo biti pažljivi kada koristimo ovaj postupak, jer kada god stepenujemo jednačinu, možemo dodati lažna rešenja koja u stvari nisu rešenja originalne jednačine. Da bi bili sigurni da smo dobili tačna rešenja, uvek ih moramo proveriti zamenjujući ih u originalnu jednačinu.

Pogledajmo sada nekoliko jednostavnih primera.

Primer 1: Nađimo realna rešenja jednačine:

Formula1506

Rešenje: Pošto je koren već izolovan, možemo samo kvadrirati obe strane jednačine da bi eliminisali koren:

Formula1507

Na kraju moramo zameniti rešenje u originalnu jednačinu da bi videli da li je tačno:

Formula1508

Dakle, x = 13 jeste rešenje jednačine.

Primer 2: Nađimo realna rešenja

Formula1509

Rešenje: Prvo ćemo izolovati koren na jednoj strani jednačine:

Formula1510

Onda ćemo podići obe strane jednačine na treći stepen:

Formula1511

Provera:

Formula1512

Dakle,

Formula1513

jeste rešenje jednačine.

Primer 3: Nađimo realna rešenja

Formula1514

Rešenje: Prvo ćemo izolovati koren:

Formula1515

Provera:

Formula1516

Jednačina ima samo jedno rešenje, x = 1.

Jednačine često imaju više od jednog korena. U ovom slučaju, prethodni postupak izolovanja najkomplikovanijeg korena i dizanja jednačine na odgovarajući stepen treba ponoviti više puta. Postupak se ponavlja sve dok se ne oslobodimo svih korena.

Primer 4: Nađimo realne korene jednačine:

Formula1517

Rešenje: Izolujmo jedan koren:

Formula1518

Da bismo eliminisali i drugi koren, dovoljno je samo da kvadriramo obe strane jednačine:

Formula1519

Provera:

Formula1520

Ova jednačina ima dva rešenja: x = 12 i x = 4.

Videli smo u trećem primeru da neka od rešenja koja nađemo rešavajući iracionalne jednačine ne prolaze proveru. Hajde da sada vidimo zašto se to dešava i da probamo da predvidimo takve situacije.

Primer 5: Nađimo realna rešenja jednačine

Formula1521

Rešenje: Izolujmo jedan od korena:

Formula1522

Pre nego što kvadriramo obe strane, pogledajmo malo bolje prethodni izraz. Sa leve strane imamo koren. On je uvek pozitivan broj, pa i izraz sa desne strane mora biti pozitivan, što je uvek tačno, pa možemo kvadrirati bez bojazni da ćemo dodati lažno rešenje:

Formula1523

Ponovo smo došli do kvadriranja. U ovom slučaju, sa desne strane jednačine imamo koren, koji je pozitivan broj, a sa leve -2, koji je negativan. To je nemoguće, pa znamo da jednačina nema rešenja i bez daljeg rešavanja i provere.

Može da se desi da kao uslov postojanja rešenja dobijemo prilično komplikovanu nejednačinu, pa, iako vođenje računa o uslovima skraćuje postupak, ipak je bolje na kraju proveriti rešenja, čak i kada smo sigurni da ni jedan uslov nismo izostavili.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: