On-line učionica

21. februar 2014.

Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:20 am

Sve osnovne operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja kompleksnih brojeva smo do sada istražili. Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva su nam bili lakši u standardnom obliku. Međutim, množenje i deljenje je bilo lakše izvesti kada su brojevi u trigonometrijskom obliku. Još jedna operacija koju je lakše tako izvesti je operacija dizanja kompleksnog broja na stepen.

Neka je

Formula1476

trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Sada ćemo probati da zaključimo kako se vrši stepenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Da bi to otkrili, biće nam neophodno da množimo kompleksne brojeve u trigonometrijskom obliku.

Ako je z2 = z · z onda:

Formula1477

Slično, ako je z3 = z2 · z onda:

Formula1478

Ponovo, ako je z4 = z3 · z onda:

Formula1479

Ovi primeri nam nagoveštavaju opšte pravilo za sve stepene od z, ili n-ti stepen. Ovo pravilo ćemo iskazati i pretpostaviti da važi za sve n bez formalnog dokaza, koji ćemo ostaviti za kasnije (treći razred). Opšte pravilo za stepenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku se naziva De Moavrova teorema i ima važnu primenu u elektrotehnici. Pravilo glasi:

Formula1480

gde je

Formula1481

Primetite kako ovo pravilo izgleda geometrijski gledano. Kompleksni broj podignut na n-ti stepen ima dva kretanja: prvo, njegovo rastojanje od koordinatnog početka se podiže na n-ti stepen; drugo, ugao se množi sa n. Obrnuto gledano, koreni broja imaju uglove koji su ravnomerno raspoređeni oko koordinatnog početka.

Primer 1: Nađimo:

Formula1482

Rešenje: Koristeći De Moavrovu teoremu imamo:

Formula1483

Primer 2: Nađimo

Formula1484

Rešenje: Prvo ćemo prebaciti kompleksni broj u trigonometrijski oblik:

Formula1485

Sada možemo upotrebiti De Moavrovu teoremu:

Formula1486

I na kraju ćemo rezultat vratiti u standardni oblik:

Formula1487

Istražili smo sve osnovne operacije nad kompleksnim brojevima u standardnom i trigonometrijskom obliku. Poslednje otkriće se odnosi na korenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Koristeći De Moavrovu teoremu možemo izvesti još jedno opšte pravilo – ono koje se odnosi na nalaženje n-tog korena kompleksnog broja predstavljenog u trigonometrijskom obliku.

Kao i malopre, neka je

Formula1476

i neka je n-ti koren iz z

Formula1488

Dakle, u opštem slučaju je

Formula1489

Odavde, možemo zaključiti da je

Formula1490

Dakle, za bilo koji ceo broj k između 0 i n – 1, v je n-ti koren iz z ako je

Formula1491

Dakle, opšte pravilo za nalaženje n-tih korena kompleksnog broja

Formula1476

je

Formula1492

Počnimo od jednostavnog primera i ostavimo ugao u stepenima.

Primer 3: Nađimo dva kvadratna korena iz 2i.

Rešenje: Izrazimo 2i u trigonometrijskom obliku:

Formula1493

Da bi našli drugi koren, dodaćemo pun krug na originalni ugao.

Formula1494

Primer 4: Nađimo tri kubna korena iz

Formula1495

Rešenje: Izrazimo

Formula1495

u trigonometrijskom obliku:

Formula1496

I sada nađimo treće korene:

Formula1497

1 komentar »

  1. […] De Moavrova i teorema o n-tom korenu kompleksnog broja […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za drugi razred | On-line učionica — 14. maj 2016. @ 9:52 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: