On-line učionica

17. februar 2014.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:47 pm

Uprkos svom nazivu, kompleksni i imaginarni brojevi imaju vrlo realnu i značajnu primenu i u matematici i u tehničkim naukama. Korisni su u čistoj matematici, jer omogućavaju da se neki problemi rešavaju preko brojevnih sistema. Videćemo neke od primena kroz sledećih nekoliko lekcija.

Sledeća slika će vas upoznati sa vezom između kompleksnih brojeva i polarnih koordinata.

Slika373

Na gornjoj slici, ucrtana je tačka koja predstavlja broj x + iy i nacrtan je vektor koji povezuje koordinatnipočetak sa ovom tačkom. Kao rezultat toga, dobili smo ugao φ. Dodatno, tačka x + iy je udaljena od koordinatnog početka za dužinu r. Zato se, za bilo koju tačku u kompleksnoj ravni može naći ugao φ i vrednost r. Sledeće formule povezuju vrednosti x, y, r i φ:

Formula1441

Ako primenimo prve dve formule na tačku x + iy, dobijamo:

Formula1442

Desna strana ove jednakosti se naziva polarna ili trigonometrijska forma kompleksnog broja. Skraćena verzija ove polarne forme se piše kao:

Formula1443

Dužina r se naziva apsolutna vrednost ili moduo, a ugao φ se naziva argument kompleksnog broja. Dakle, sledeće formule definišu polarnu formu kompleksnog broja:

Formula1444

Sada je vreme da primenimo ove formule na prebacivanje kompleksnih brojeva iz standardnog u trigonometrijski oblik.

Primer 1: Predstavimo kompleksni broj 5 + 7i grafički i izrazimo ga u trigonometrijskoj formi.

Rešenje: Kao što smo već diskutovali, grafik kompleksnog broja 5 + 7i bi bio:

Slika374

A polarni oblik:

Formula1445

Primer 2: Izrazimo sledeće trigonometrijske oblike kompleksnih brojeva u skraćenoj formi:

Formula1446

Rešenje:

Formula1447

Primer 3: Predstavimo kompleksni broj -3,12 – 4,64i grafički i prikažimo dva načina predstavljanja njegove polarne forme.

Rešenje: Iz zapisa broja imamo da je

Formula1448

Time dobijamo sliku:

Slika375

Sada da utvrdimo polarne koordinate:

Formula1449

Ovo je ugao u prvom kvadrantu, a na osnovu slike imamo da je:

Formula1450

Dva zapisa broja u polarnoj formi su:

Formula1451

Do sada smo ugao fi izražavali u stepenima. Polarna forma kompleksnog broja se izražava i u radijanima. Tako je lakše crtati uglove u polarnim koordinatama.

Odgovor na gornji zadatak izražen u radijanima bi bio:

Formula1452

Sada kada smo istražili polarni oblik kompleksnog broja i korake potrebne da se brojevi izraze u oba oblika, pogledaćemo jedan primer iz elektrotehnike u kome se pojavljuje kompleksni broj dat u polarnom obliku, a treba ga izraziti u standardnom obliku.

Primer 4: Impedansa Z, izražena u omima, u električnom kolu je data sa

Formula1453

Izrazimo vrednost za Z u standardnom obliku. (U elektrotehnici se često koriste negativni uglovi.)

Rešenje: Vrednost za Z je data u polarnom obliku. Odavde, znamo da je

Formula1454

Koristeći ove vrednosti možemo pisati:

Formula1455

Zato je standardni oblik

Formula1456

1 komentar »

  1. […] Trigonometrijski oblik kompleksnog broja […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za drugi razred | On-line učionica — 14. maj 2016. @ 9:52 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: