On-line učionica

11. januar 2014.

Prebacivanje polarnih koordinata u pravougle i obrnuto

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:54 pm

Isto kao što se x i y obično koriste da bi označili pravougle koordinate neke tačke, r i φ se obično koriste da bi označili polarne koordinate te tačke. r označava rastojanje te tačke do koordinatnog početka. φ je ugao koji poluprava iz koordinatnog početka do te tačke zaklapa sa pozitivnim delom x-ose. Na slici ispod su prikazane obe vrste koordinata za tačku P. Primenom trigonometrije možemo dobiti jednačine koje će prikazati vezu između polarnih koordinata (r, φ) i pravouglih koordinata (x, y).

Slika370

Tačka P ima polarne koordinate (r, φ), a pravougle koordinate (x, y). Zato je:

Formula1431

Ove jednačine, takođe poznate i kao formule za konverziju, će nam omogućiti da polarne koordinate pretvorimo u pravougle.

Primer 1: Ako su date tačke sa polarnim koordinatama V(4, -200°) i H(4, π/3), nađimo odgovarajuće pravougle koordinate ovih tačaka.

Rešenje: Za tačku V imamo:

Formula1432

Pravougle koordinate tačke V su približno (-3,76; 1,37).

Za tačku H imamo:

Formula1433

Pravougle koordinate tačke H su (2, 2√3).

Kada prebacujemo pravougle koordinate u polarne, moramo biti svesni da polarne koordinate nisu jednoznačne. Složićemo se da nam je, kada prebacujemo pravougle u polarne koordinate, jedan par polarnih koordinata dovoljan za svaku tačku sa pravouglim koordinatama. Konverzija pravouglih koordinata u polarne se izvodi korišćenjem Pitagorine teoreme i arkustangensne funkcije. Kodomen arkustangensa je (-π/2, π/2), odnosno rezultat funkcije su uglovi iz prvog i četvrtog kvadranta, pa moramo dodati π za tačke u drugom i trećem kvadrantu, tj. kada je x < 0:

Slika371

Još za r imamo, na osnovu Pitagorine teoreme:

Formula1434

Primer 2: Prebacimo sledeće pravougle koordinate u polarne: P(3, -5) i Q(-9, -12).

Rešenje: Za tačku P imamo:

Formula1435

Pošto tačka pripada četvrtom kvadrantu, polarne koordinate iznose:

Formula1436

Za tačku Q imamo:

Formula1437

Pošto tačka pripada trećem kvadrantu, polarne koordinate iznose:

Formula1438

Sigurno ste primetili da nismo koristili približne vrednosti u prethodnom primeru. Sada ćemo uraditi još jedan, sa akcentom na pravilnom korišćenju digitrona.

Primer 3: Izrazimo pravougle koordinate tačke A(-3, 7) kao polarne.

Rešenje: Polarne koordinate se izražavaju u obliku (r, φ). Ugao se može meriti ili u stepenima ili u radijanima, a na digitronu to podešavamo u meniju MODE. I da podsetim – funkcija arkustangens je inverzna funkcija funkcije tangens.

Slika372

Pošto je ova tačka u trećem kvadrantu, biće nam potrebno da dodamo π, ako računamo u radijanima, ali tu nastaje mali problem. Rezultat arkustangensa u radijanima je u obliku negativnog decimalnog broja i tu se π ne pominje. Zato umesto π dodajemo njegovu približnu vrednost: 3,14:

Formula1439

Ukoliko računamo u stepenima, biće potrebno da umesto π dodamo adekvatnu vrednost u stepenima, tj. 180º:

Formula1440

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: