On-line učionica

10. januar 2014.

Polarne koordinate

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:49 pm

U ovoj lekciji ćemo upoznati i istražiti polarni koordinatni sistem, koji se zasniva na jednom rastojanju i jednom uglu. Naučićemo kako da ucrtavamo tačke u ovaj sistem, a u kasnijim lekcijama i kako da prevodimo pravougle koordinate u polarne i obrnuto. Takođe ćemo koristiti polarne koordinate da bi bolje razumeli različite osobine kompleksnih brojeva.

Crtanje u polarnom koordinatnom sistemu

Milimetarski papir koji ste verovatno koristili za precizno crtanje je papir sa kvadratnom mrežom. Sve tačke koje ste crtali su mogle da se opišu u pravougloj formi (x, y) u odnosu na međusobno normalne ose. Uskoro ćemo otkriti alternativu crtanju na kvadratnoj mreži – crtanje na kružnoj mreži.

Pogledajte ove dve mreže ispod:

Slika364

Svima je poznata kvadratna mreža prikazana levo. Međutim, kružna mreža sa desne strane nas vodi do novih otkrića. Sama mreža se sastoji od nekoliko koncentričnih krugova – krugova sa zajedničkim centrom. Taj zajednički centar O nazivamo pol ili koordinatni početak, a polarna osa je horizontalna poluprava r koja kreće iz pola u pozitivnom smeru. Neka tačka P je opisana rastojanjem r od pola i uglom koji OP zaklapa sa polarnom osom. Koordinate tačke P su (r, φ).

Pretpostavka je da se ugao meri u pozitivnom smeru, tj. u suprotnom smeru od kretanja skazaljke na satu. Kada bi merili ugao u smeru kretanja kazaljki na satu, koordinate tačke P bi bile (r, -φ). Ove vrednosti se nazivaju polarnim koordinatama i imaju oblik P(r, φ) gde je r rastojanje od pola do P, a φ je ugao između polarne ose i poluprave OP.

Primer 1: Ucrtajmo tačke A(5, -255º) i B(3, 60°) u polarni koordinatni sistem.

Rešenje: Da bi ucrtali A, izabraćemo krug poluprečnika 5 i rotaciju od 255° u smeru kazaljke na satu od polarne ose i na tom mestu ćemo ucrtati tačku i označiti je A. Za tačku B, počećemo od kruga poluprečnika 3 i rotacije od 60º u suprotnom smeru od kretanja kazaljke na satu. Ucrtaćemo tačku i označiti je sa B.

Slika365

Kako bismo ucrtavali tačke bez polarne mreže? Da je pitanje da ucrtamo tačku (1, 135°), odnosno (1, 3π/4), rotirali bismo polupravu OP za dati ugao 3π/4. Da bi dobili r = 1, izmerili bi rastojanje od O. Označimo tu tačku sa M. Tačka dakle može biti ucrtana i bez mreže, rotacijom oko pola, kao na slici ispod.

Slika366

Kada bismo sada pokušali da pročitamo koordinate tačke M sa grafika, shvatili bismo da postoji više načina za predstavljanje polarnih koordinata u opštem slučaju P(r, φ). Ako tačka P ima polarne koordinate (r, φ), onda su joj koordinate i (r, φ+2), k je ceo broj. Setite se da k predstavlja broj punih rotacija oko pola. Ako ne uvedemo neko ograničenje za φ, imaćemo beskonačno mnogo polarnih koordinata za istu tačku P(r, φ).

Primer 2: Odredimo dva moguća para koordinata za tačku P(r, φ), takve da je -360° < φ < 360º.

Slika367

Rešenje: Za r uzimamo 4, a za φ po jednu pozitivnu i negativnu vrednost: P(4, 120º) i P(4, -240°).

Rastojanje između tačaka u polarnim koordinatama

Kao što možemo računati rastojanje između tačaka u pravouglom koordinatnom sistemu, tako možemo i u polarnom. Kod pravouglog koordinatnog sistema smo koristili Pitagorinu teoremu, a ovde ćemo koristiti Kosinusnu:

Formula512

Kako, objasnićemo na primerima.

Primer 3: Nađimo rastojanje između (3, 60°) i (5, 145°).

Rešenje: Nakon ucrtavanja ove dve tačke dobijamo trougao:

Slika368

Kod njega su nam poznate dve stranice – r koordinate tačaka, i ugao između njih – apsolutna razlika između φ koordinata tačaka. Nepoznato rastojanje je treća stranica tog trougla. Koristeći Kosinusnu teoremu dobijamo:

Formula1429

Primer 4: Nađimo rastojanje između (9, -45°) i (4, 250°).

Rešenje: Ovo je malo teže od prethodnog primera, jer imamo negativan ugao. Prvo ćemo sve nacrtati i na slici izračunati potreban ugao:

Slika369

Sada možemo da iskoristimo Kosinusnu teoremu:

Formula1430

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: