On-line učionica

5. januar 2014.

Slučaj sa više rešenja

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:43 pm

U nekoliko prethodnih lekcija smo učili o Kosinusnoj i Sinusnoj teoremi. Naučili smo da možemo koristiti Kosinusnu teoremu kada:

  1. su nam poznate sve tri stranice u trouglu i
  2. kada su nam poznate dve stranice i njima zahvaćen ugao.

Naučili smo i da možemo koristiti Sinusnu teoremu kada:

  1. su nam poznata dva ugla i stranica naspram jednog od njih i
  2. kada nam je poznata stranica i na njoj nalegli uglovi.

Međutim, nismo istraživali kako da rešimo trougao za koji su nam poznate dve stranice i ugao naspram jedne od njih. U ovoj lekciji ćemo videti zašto taj slučaj ima više rešenja i koji su mogući trouglovi u tom slučaju.

U osnovnoj školi ste naučili da dve stranice i ugao naspram jedne od njih nisu dovoljni podaci da bi jedinstven trougao uopšte postojao. Razmotrimo nekoliko slučajeva u kojima su nam date stranice a i b i ugao kod temena A:

Prvi slučaj: Ne postoji trougao.

Slika353

U ovom slučaju je stranica a prekratka da bi dostigla treću stranicu, dakle kraća je od visine iz temena C:

Formula1389

Pošto trougao ne postoji, nema ni rešenja.

Drugi slučaj: Jedinstven, pravougli trougao.

Slika354

U ovom slučaju je stranica a normalna na treću, pa joj je dužina:

Formula1390

Pošto se u ovom slučaju dobija jedinstven trougao, postoji jedno rešenje.

Treći slučaj: Postoje dva trougla.

Slika355

U ovom slučaju stranica a može da preseče treću u tačno dve tačke, pa je zato duža od visine, a kraća od stranice b. Pošto postoje dva trougla, postoje i dva rešenja.

Četvrti slučaj: Jedinstven trougao.

Slika356

U ovom slučaju stranica a seče treću u tačno jednoj tački sa odgovarajuće strane temena A i zato je veća ili jednaka stranici b. Pošto postoji tačno jedan trougao, postoji jedinstveno rešenje.

Za treći slučaj kažemo da je slučaj sa više rešenja, jer postoje dva moguća trougla i dva moguća rešenja. Jedan od načina da proverimo koliko ima mogućih rešenja (ako uopšte postoje) je da uporedimo stranice a i b. Ako imamo da je a manja stranica, možemo dalje porediti… Moguće slučajeve ćemo sistematizovati tablicom:

Odnos datih veličina a, b i ugla kod temena A
a < b sin A a = b sin A b sin A < a < b a ≥ b sin A
Broj rešenja
0 1 2 1

Primer 1: Odredite broj trouglova koji su određeni datim elementima (0, 1, ili 2). Svi slučajevi sadrže dve stranice i ugao naspram jedne od njih.

Formula1391

Rešenje

Formula1395što znači da nema rešenja.

Primer 2: Odredite broj trouglova koji su određeni datim elementima (0, 1, ili 2).

Formula1392

Rešenje: Iako stranice nisu obeležene isto u svim primerima, računajte da su ugao i njemu naspramna stranica označeni istim slovom.

Formula1396što znači da ima dva rešenja.

Primer 3: Odredite broj trouglova koji su određeni datim elementima (0, 1, ili 2).

Formula1393

Rešenje:

Formula1397

Rešenje je jedinstveno.

Primer 4: Odredite broj trouglova koji su određeni datim elementima (0, 1, ili 2).

Formula1394

Rešenje:

Formula1398

što znači da je rešenje jedinstveno.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: