On-line učionica

1. januar 2014.

Još malo ispitivanja grafika funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:18 pm

Ovde ćemo uraditi još dva primera i neću više…

Primer 1: (Korena funkcija) Ispitajmo funkciju

Formula1359

Rešenje: Krenimo redom…

Domen funkcije

Formula1360

Funkcija ima grafik počev od 1/2 pa na desno.

Parnost i periodičnost funkcije

Pošto domen nije simetričan, funkcija ne može biti ni parna ni neparna, a nije ni periodična, pa nam ova tačka ne pomaže za nastavak ispitivanja.

Asimptote funkcije

Pošto nema prekida u domenu, nema ni vertikalne asimptote.

Formula1361

Nema ni horizontalne asimptote, još da proverimo za kosu:

Formula1362

Znači, ova funkcija nema asimptote, pa nam cela tačka ne pomaže pri crtanju grafika.

Nule i znak funkcije

Formula1363

Nulu smo dobili, možemo je ucrtati u grafik. Funkcija je uvek pozitivna, jer je koren uvek pozitivan. Možemo dodati i ponašanje funkcije oko nule.

Monotonost funkcije

Formula1364

Funkcija nema ekstremnih vrednosti i prvi izvod je uvek pozitivan, pa je funkcija uvek rastuća.

Konveksnost funkcije

Formula1365

Funkcija nema prevojih tačaka, drugi izvod je uvek negativan, pa je funkcija uvek konkavna. Možemo dopunti grafik i dobiti…

Grafik funkcije

Slika346

Primer 2: (Trigonometrijska funkcija) Ispitajmo funkciju

Formula1366

Rešenje: Krenimo redom…

Domen funkcije

Funkcija je svuda definisana, pa joj je domen skup realnih brojeva R.

Parnost i periodičnost funkcije

Formula1367

Funkcija je neparna, pa možemo nastaviti ispitivanje samo za pozitivni deo, a grafik će biti simetričan u odnosu na koordinatni početak. Ovo je prva funkcija koja može biti i periodična, i to sa periodom , što ćemo proveriti:

Formula1368

Fukcija nije periodična.

Asimptote funkcije

Pošto nema prekida u domenu, nema ni vertikalne asimptote.

Formula1369

Nema ni horizontalne asimptote, još da proverimo za kosu:

Formula1370

Znači, ova funkcija nema asimptote. Međutim, ima neke veze sa pravom y = x. Ucrtaćemo je isprekidano na grafik, pa ćemo videti kakve…

Nule i znak funkcije

Formula1371

Ovu jednačinu ne umemo da rešimo, ali, poznalući grafike funkcija leve i desne strane jednačine, zamo da se seku u nuli i još jednoj tački negde između 1 i 2.

Slika347Ako tačku preseka označimo sa N, onda je to nula naše funkcije, između nule i N je negativna, a posle pozitivna. Ucrtaćemo to u grafik.

Monotonost funkcije

Formula1372

Funkcija ima beskonačno kritičnih tačaka koje se ponavljaju na svaka . Monotonost prikazujemo tablicom:

f'(x) xk + xl
f(x) Strelica2 x2 Strelica1 x1 Strelica2

Dakle, sve tačke koje smo označili sa Mk su lokalni minimumi, a tačke Ml su lokalni maksimumi. Sada možemo to i da ucrtamo (otprilike) na grafik.

Konveksnost funkcije

Formula1373

Funkcija ima beskonačno mnogo prevojnih tačaka, na svakih π. Prvo je konkavna, a onda konveksna. Možemo dopunti grafik i dobiti…

Grafik funkcije

Slika348

Ne zaboravite da je grafik simetričan, pa se nastavlja i za negativne vrednosti nezavisno promenljive. Naravno, ono što su bili maksimumi, postaju minimumi, rašćenje postaje opadanje, a konveksnost konkavnost i obrnuto. Sećate li se prave y = x? Šta se dogodilo?

1 komentar »

  1. […] Ispitivanje funkcije 1 2 3 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 5. januar 2016. @ 3:13 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: