On-line učionica

10. novembar 2013.

Koveksnost, konkavnost, prevojne tačke i drugi izvod funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:55 pm

Funkcija f je konveksna na intervalu [a, b] iz domena f, ako je f’ rastuća funkcija na [a, b]; a konkavna na [a, b], ako je f’ opadajuća funkcija na [a, b]. Evo primera koji ilustruje ova svojstva.

Primer 1: Koliko ekstremuma ima funkcija

Formula1301

na osnovu njenog grafika:

Slika341

Rešenje: Funkcija ima jedan lokalni maksimum i jedan lokalni minimum.

Grafik je, izgleda, konkavan na intervalu (-∞, 0), a konveksan na intervalu (0, +∞). Šta mislite u kojoj tački se konkavnost grafika menja? Ako ste mislili da je to za

Formula1302

bili biste u pravu. U opštem slučaju, kod ispitivanja funkcije nam je važno da nađemo ekstremume funkcije i tačke u kojima funkcija menja konkavnost. Sledeća definicija formalno karakteriše takve tačke.

Tačka na grafiku funkcije f u kojoj ona menja konkavnost se naziva prevojna tačka. Prethodni primer je imao samo jednu prevojnu tačku. Lako možemo pronaći primere funkcija koje imaju više prevojnih tačaka.

Primer 2: Koliko lokalnih ekstremuma i prevojnih tačaka ima funkcija

Formula1303

na osnovu grafika:

Slika342

Rešenje: Vidimo da grafik ima dva lokalna minimuma, jedan lokalni maksimum i dve prevojne tačke.

U opštem slučaju, koristimo sledeće dve teoreme kojima utvrđujemo konkavnost, ekstremume i prevojne tačke.

Pretpostavimo da je f neprekidna na intervalu [a, b] i da je I neki otvoreni podinterval tog intervala. Ako je

Formula1305

za sve x iz I, onda je grafik funkcije f konveksan na I. Ako je

Formula1306

za sve x iz I, onda je grafik funkcije f konkavan na I.

Posledica ovoga je sledeća teorema za potvrđivanje lokalnih ekstremuma funkcije f.

Pretpostavimo da je f neprekidna u nekoj okolini tačke c i da je c kritična vrednost funkcije f. Tada, ako je

Formula1307

onda f ima lokalni minimum u

Formula1280

Ako je

Formula1308

onda f ima lokalni maksimum u

Formula1280

Ako je

Formula1304

onda karakter tačke nije određen i može predstavljati prevojnu tačku.

Učenici često greše kod pojmova konveksnosti i konkavnosti, što nije neki problem, ako posle nacrtaju funkciju kako treba. Zato evo lakšeg načina da zapamtite: kada je drugi izvod pozitivan, funkcija je srećna, što znači da ima oblik usta Smajlija🙂 Kada je drugi izvod negativan funkcija je tužna ovako:😦

Uradimo sada jedan primer kako treba:

Primer 3: Ispitajmo ekstremume i konveksnost funkcije

Formula1309

Rešenje: Nađimo prvo kritične vrednosti funkcije:

Formula1310

Primetimo takođe da je

Formula1311

Primenimo teoreme o prvom i drugom izvodu pomoću tabele:

x (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
f'(x) + 0 0 +
f“(x) 0 + + +
Ponašanje funkcije rastuća, konkavnaStrelica1 Konkavno maksimum opadajuća, konkavnaStrelica2 Konkavno opadajuća, prevojna tačkaStrelica2 opadajuća, konveksna

Strelica2 Konveksno

minimum rastuća, konveksnaStrelica1 Konveksno

Lokalni maksimum funkcije je tačka (-1, 6). Lokalni minimum je tačka (1, -2). Prevojna tačka je tačka (0, 2).

Sada možemo i da je nacrtamo:

Slika343

2 komentara »

  1. […] Konveksnost i drugi izvod […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 5. januar 2016. @ 3:13 pm | Odgovor

  2. Super napravljeno…

    Komentar od Eugen Sunic — 24. februar 2016. @ 12:16 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: