On-line učionica

9. avgust 2013.

Ekstremne vrednosti funkcije i neke važne teoreme

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:13 pm

Funkcija f ima maksimum u

Formula1274

ako je

Formula1275

za sve vrednosti x iz domena f. Slično, f ima minimum u

Formula1274

ako je

Formula1276

za sve vrednosti x iz domena f. Vrednosti funkcije za ove vrednosti x se nazivaju ekstremne vrednosti ili ekstremumi. Evo jednog primera funkcije koja ima maksimum u

Formula1274

i minimum u

Formula1277

Slika339

Posmatrajmo grafik u

Formula1278

Iako nemamo minimum u toj tački, primećujemo da je

Formula1279

za sve x u okolini b. Kažemo da funkcija ima lokalni minimum u

Formula1278

Slično, kažemo da funkcija ima lokalni maksimum u

Formula1280

pošto je

Formula1281

za neki x iz otvorenog intervala oko tačke c.

Vajerštrasova teorema: Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu I, onda ona ima i maksimalnu i minimalnu vrednost u I.

Teoremu nećemo dokazivati ovde, ali ćemo objasniti koncept. Pokušajte da nacrtate neprekidnu funkciju na zatvorenom intervalu tako da ni jedna tačka ne bude najviša na grafiku. Bez obzira na to kako crtali, postojaće bar jedna tačka u kojoj je funkcija najviša.

Sada smo spremni da povežemo ekstremne vrednosti i izvode.

Fermaova teorema: Ako je

Formula1282

jedna ekstremna vrednost funkcije f u nekom otvorenom intervalu oko c i ako postoji izvod funkcije f u tački c, onda je

Formula1283

Vrednost

Formula1280

ćemo zvati kritičnom tačkom u

Formula1284

ako je

Formula1283

ili

Formula1285

ne postoji, ili ako je c krajnja tačka intervala. Sada smo spremni za sledeću teoremu, koja bi sadržavala link na adekvatan elektronski izvor, da postoji… ili da umem da ga nađem. Ako neko nađe ili napiše, bila bih zahvalna za link u komentarima🙂

Teorema o ekstremnoj vrednosti: Ako je funkcija f neprekidna u zatvorenom intervalu

Formula1284

sa maksimumom funkcije f u

Formula1286

i minimumom funkcije f u

Formula1287

Onda su c1 i c2 kritične tačke funkcije f.

Rolova teorema: Ako je f neprekidna i diferencijabilna na zatvorenom intervalu

Formula1284

i ako je

Formula1288

onda f ima bar jednu vrednost c u otvorenom intervalu Formula1289 takvu da je

Formula1283

Lagranžova teorema: Ako je f neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu

Formula1284

i ako je diferencijabilna u otvorenom intervalu Formula1289 onda postoji broj c iz intervala Formula1289 takav da je

Formula1290

1 komentar »

  1. […] Ekstremne vrednosti funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 5. januar 2016. @ 3:13 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: