On-line učionica

17. jul 2013.

Izvod proizvoda funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:14 pm

Uz tablicu izvoda imamo aparat za izvođenje izvoda mnogih funkcija. Na primer:

Formula1164

To je dobro. Loša strana je to što mnoge izvode ne možemo naći na taj način.

Pogledajmo ovu funkciju:

Formula1165

Funkcija f se sastoji od dve manje celine (dve funkcije)

Formula1166

koje se međusobno množe. Da li je

Formula1167

Nije!

Treba nam posebna formula za računanje izvoda proizvoda funkcija!

Pravilo izvoda proizvoda: zamislite da je f podeljeno na dve funkcije (dela) — crvenu i plavu. Ovako:

Formula1168

Znači prvo pišemo izvod crvene funkcije, onda znak puta, pa nepromenjenu plavu funkciju. To je polovina posla. Dodajemo znak plus i radimo obrnuto u drugoj polovini. Pišemo prvo nepromenjenu prvu (crvenu) funkciju, onda množenje, pa izvod desne (plave) funkcije. Dobijamo da je:

Formula1169

Formalna teorema o izvodu proizvoda funkcija kaže: Ako je

Formula1170

onda je

Formula1171

Primer 1: Nađimo izvod funkcije

Formula1177

na dva načina: bez korišćenja pravila za izvod proizvoda funkcija i korišćenjem pravila.

Rešenje (prvi način): Prvo ćemo izmnožiti zagrade:

Formula1178

Sada nađemo izvod:

Formula1179

Rešenje (drugi način): Primenimo formulu, pa onda izmnožimo i sredimo:

Formula1180

Dobili smo isti rezultat. Znači da pravilo funkcioniše na ovom primeru, ali ne znači da smo ga time dokazali!

Dokaz je malo komplikovaniji, pa ćemo ga ovde zaobići😉

Primer 2: Nađimo izvod funkcije:

Formula1176Rešenje: Ovde imamo prvo proizvod, a zatim i zbir funkcija. Krenimo redom:

Formula1183

Kod ovakvih primera najčešće grešimo tako što izostavimo neki od koraka. Dobra provera je prebrojati koliko sabiraka na kraju ima rezultat. U ovom slučaju imamo dva sabirka zbog množenja i još jedan samostalan. To su ukupno tri. Toliko smo i dobili🙂

Primer 3: Nađimo izvod funkcije:

Formula1187

Rešenje: Deluje strašno komlikovano, ali nije. Samo polako i redom:

Formula1188

Koliko sabiraka smo trebali da dobijemo? Da vidimo: dva zbog proizvoda plus još dva zbog drugog proizvoda plus još jedan, ali njega nema jer je nula. Znači, ukupno 4. Toliko smo i dobili🙂

Primer 4: Nađimo izvod funkcije:

Formula1184

Rešenje: Ovde imamo kvadrat funkcije. To još ne umemo da izvedemo, ali ćemo naučiti… Ono što možemo je da napišemo funkciju u obliku proizvoda funkcija, dakle:

Formula1185

I sada primenimo pravilo izvoda proizvoda funkcija:

Formula1186

1 komentar »

  1. […] proizvoda i količnika […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 5. januar 2016. @ 3:13 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: