On-line učionica

7. jul 2013.

Limesi i beskonačnost (asimptote)

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:28 pm

Posmatrajmo funkciju:

Formula1081

Ona nema vrednost u tački

Formula1082

Ako pokušamo da zamenimo, dobićemo:

Formula1083

Dakle, dobijamo situaciju u kojoj se ne-nula broj deli nulom. To, naravno nije dozvoljeno i funkcija nema vrednost u toj tački, ali zato ima levi i desni limes. Ovakva situacija dovodi do pojave vertikalne asimptote. Pogledajmo najpre grafik ove funkcije:

Slika330

Hajde da probamo da izračunamo levi limes kada x teži 3:

Formula1084

Aha, dobijamo deljenje sa nulom, ali to nije „prava“ nula, već neki jako mali negativni broj. Šta dobijamo kada broj 7 podelimo jako malim negativnim brojem? Probajte! Dakle, dobijamo jako veliki negativan broj. Koliko veliki? Proizvoljno veliki. To označavamo znakom beskonačnosti, zar ne? Znači:

Formula1085

Vrlo slično, desni limes kada x teži 3 je:

Formula1086

Ovaj rezultat nam se uklapa u grafik. Samo ostaje pitanje, dokle ide grafik? y ide u beskonačnost, a x? Pa do trojke, sa leve i desne strane. Ako nacrtamo tu „vertikalnu granicu“ koju grafik ne može preći, dobićemo vertikalnu asimptotu:

Slika331

Jednačina ove prave, koja predstavlja vertikalnu asimptotu je

Formula1082

Vertikalne asimptote nisu jedine koje postoje. Da vidimo šta se dešava sa našom funkcijom kada x teži beskonačnosti:

Formula1087

i

Formula1088

Šta to znači za naš grafik? Kada x teži beskonačnosti, y teži broju 2, što znači da ga ne prelazi, pa možemo nacrtati „horizontalnu granicu“, a to je horizontalna asimptota.

Slika332

Njena jednačina glasi:

Formula1089

Postoje i kose asimptote koje ovde nećemo posebno objašnjavati. Samo ćemo navesti formalnu teoremu o asimptotama:

  1. Prava
    Formula1090
    je vertikalna asimptota grafika funkcije
    Formula1091
    ako je
    Formula1092
  2. Prava
    Formula1093
    je horizontalna asimptota grafika funkcije
    Formula1091
    ako je
    Formula1094
  3. Prava
    Formula1095
    je kosa asimptota grafika funkcije
    Formula1091
    ako je
    Formula1096

1 komentar »

  1. […] Pojam beskonačnosti […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: