On-line učionica

5. jul 2013.

Računanje nekih graničnih vrednosti funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:24 pm

Sada kada imamo predstavu šta je limes i kada postoji, možemo da počnemo da razmišljamo i kako da ga računamo. Izračunajmo:

Formula1064

Prva logična ideja jeste da proverimo da li možda možemo da zamenimo datu vrednost umesto nepoznate. Da probamo…

Formula1065

Lepo. Zapamtite, onog trenutka kada zamenite vrednost za x, u tom trenutku više nema potrebe da se piše limes, jer promenljiva više ne figuriše u izrazu! Da probamo sada ovaj:

Formula1066

Opet ćemo probati da zamenimo dvojku umesto nepoznate:

Formula1067

Ovo nije dozvoljeno! Ne deli se nulom! Šta sada?

Pošto smo dobili nulu i u brojiocu i u imeniocu razlomka, a oba su polinomi, znamo negde iz prvog razreda da, ako ih rastavimo na proste činioce, faktor

Formula1068

će se skratiti. Da probamo:

Formula1069

Šta sada? Pa, ponovo probamo zamenu:

Formula1070

Ide nam. A ovaj:

Formula1071

Svakako probamo zamenu:

Formula1072

Opet isti rezultat kao u prethodnom primeru. Napominjem ovde da se zadatak može rešiti na isti način, samo ove izraze ne nazivamo polinomima, ali sada nećemo to uraditi.

Šta nam smeta da bi bilo isto kao u prethodnom primeru? Ako ste pomislili koren, bili ste u pravu. Kako se, beše, oslobađamo korena? Koristimo razliku kvadrata, zar ne? Racionališemo izraz. Ali, ovde koren nije u imeniocu! Svejedno, probaćemo, jer trenutno bolju ideju nemamo:

Formula1073

I ponovo zamenimo:

Formula1074

Eto, uspeli smo…

Dobro, ali šta smo u stvari radili i da li je to dozvoljeno?

Sabirali smo, množili i delili funkcije i to je, naravno, dozvoljeno. Formalno, teorema o svojstvima limesa kaže:

Ako postoje limesi

Formula1075

onda postoje i:

Formula1076

Formula1077

Formula1078

Umesto dokaza, razmislimo: Ako je za x dovoljno blizu x0, vrednost f(x) dovoljno blizu a, a g(x) dovoljno blizu b, onda je i njihov zbir, razlika, proizvod i količnik dovoljno blizu zbiru, razlici, proizvodu i količniku a i b.

Hm… zar nije bila još neka operacija sa funkcijama? Ah, da! Kompozicija! I za to imamo teoremu:

Neka su f i g funkcije takve da je

Formula1079

Tada je

Formula1080

Opet, ako je x dovoljno blizu x0, f(x) je dovoljno blizu y0, a onda je g(y) dovoljno blizu a.

Formalne dokaze ovih teorema možete sami naći – ovde se njima nećemo baviti.

1 komentar »

  1. […] Osobine graničnih vrednosti […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: