On-line učionica

30. jun 2013.

Pojam leve i desne granične vrednosti (limesa)

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:33 pm

Videli smo u prethodnoj lekciji da vrednost funkcije u nekoj tački može i ne mora da postoji. Onda smo se zapitali da li limes mora da postoji? Kada postoji?

Pogledajmo, na primer, ovu funkciju:

Slika325

Zamislimo sada da to nije grafik funkcije, već neka karta nekog puta. Zamislite takođe da se mi nalazimo na ovom levom kraju puta, a neki naši prijatelji na desnom kraju i da se na mestu označene tačke nalazi restoran u kom želimo da se nađemo sa njima. Recimo da smo stigli do restorana i da njega tamo više nema – zatvoren je. To znači da nećemo tu večerati, ali ne i da se nismo našli sa prijateljima!

Vratimo se sada u realnost i našoj funkciji. Znamo od ranije da ona nema vrednost u toj tački (nema restorana, ni večere), ali ima limes (našli smo se s prijateljima).

Limes postoji ako „putujući funkcijom“ sleva i zdesna „stignemo“ na isto mesto, odnosno težimo istoj vrednosti.

Pogledajmo sada sledeću funkciju f(x):

Slika326

Kada x teži 4, limes ove funkcije očigledno ne postoji (nećemo se naći s prijateljima).  Ali zato postoje levi i desni limes (i mi i oni ćemo ipak negde stići).

Desni limes iznosi 3 i označava se ovako:

Formula1055

zato što x teži četvorci sa pozitivne strane, odnosno uzima vrednosti veće od 4. Levi limes, analogno, pišemo ovako:

Formula1056

Da bi postojala granična vrednost u tački

Formula1058

levi i desni limes u toj tački moraju biti jednaki.

Nacrtajmo takvu funkciju g(x):

Slika327

Granična vrednost u tački x = 4 funkcije g(x) postoji, a funkcije f(x) ne postoji, ali postoje granične vrednosti funkcije f(x) u svim drugim tačkama, vrednostima za x.

Dakle, ako se grafik ne prekida u nekoj tački, onda u toj tački postoji limes. Međutim, limes postoji i kada imate „rupu“ u grafiku:

Slika328

Za ovu funkciju h(x)

Formula1059

postoji!

Da zaključimo – Granična vrednost funkcije u tački

Formula1060

postoji ako i samo ako je

Formula1061

i iznosi upravo b.

Primer: Nađimo:

Formula1062

Rešenje: Trebalo bi da umemo da nacrtamo grafik ove funkcije. Prvo, ona nema vrednost u nuli, jer se nulom ne deli. Kada je x pozitivno, vrednost funkcije je 1, a kada je x manje od nule, vrednost je -1. Evo i grafika:

Slika329

Sada možemo zaključiti da je

Formula1063

Primetite da mi ovde nismo računali limese funkcije u nuli, već smo ih pročitali sa grafika. Kako se računaju limesi, videćemo u sledećoj lekciji.

6 komentara »

  1. „Dakle, ako se grafik ne prekida u nekoj tački, onda u toj tački postoji limes.“ Da li to znaci da, npr. za f-ju f(x)=x+2, limes od f(x), kada x tezi recimo 1, postoji i jednak je 3? I isto bi postojao kada bismo imali ‘rupu’ u grafiku, tj, da recimo, kod ovog naseg primera, f-ja nije bila definisana za x=1? Ako me razumete…
    I u izjavi „Neprekidne funkcije nemaju prekide na grafiku, što znači da bi svi limesi morali da postoje“, sa nekog drugog clanka, da li tu mislite na ovu prvu vrstu limesa koju sam navela na pocetku, ili ovo drugu , za x nejednako 1? Hvala na odgovoru.

    Komentar od Ana — 15. decembar 2014. @ 12:19 am | Odgovor

  2. P.S. I da li to onda znaci da je fja neprekidna u nekoj tacki akko u toj tacki imamo ‘rupicu’, ili ako grafik fino sadrzi i tu tacku, i to f(x), tj. apsolutno nikakav prekid nema?

    Komentar od Ana — 15. decembar 2014. @ 12:27 am | Odgovor

  3. Cela stvar je u domenu funkcije… Dakle, onaj prvi primer, bez rupe, ta funkcija je neprekidna i ima sve limese u svim tačkama, tj. na skupu R.
    Ova druga funkcija, sa rupom, ona je neprekidna i ima sve limese u svom domenu, a to je R bez te jedinice. Ona čak ima oba limesa i u x = 1, ali u toj tački nije neprekidna – ima „rupicu“.
    Dakle, funkcija je neprekidna u nekoj tački ako nema prekide u toj tački, tj. ako ima oba limesa i vrednost i sve tri vrednosti su jednake.

    Komentar od jelena100janovic — 15. decembar 2014. @ 11:01 am | Odgovor

  4. Zelela bih i ja da Vas pitam nesto, ili bilo koga ko razume. Nije mi jasna definicija topoloske prirode: „F-ja f ima prekid u tacki a akko postoji okolina V(f(a)) tacke f(a) takva da za svaku okolinu U(a) tacke a vazi sledece : (postoji x pripada X presek U(a)) f(x) ne pripada V(f(a))“. Uzmimo prost primer y=1/(x-2), tacka 2 je tacka prekida, i sada kako uopste mogu izracunati V(f(2)) kada fja tu nije definisana? Bas mi je nejasno, ako neko razume, bila bih prezahvalna da mi pomogne.

    Komentar od tamara — 28. decembar 2014. @ 7:03 am | Odgovor

    • Baš u tome i jeste stvar – ne možete da nađete okolinu V(f(a))! Definicija i počinje sa „Ako postoji okolina V…“ Ne postoji, jer ne postoji f(2). Ali, ako bismo dodefinisali funkciju sa f(2)=b, šta god bilo b, opet bi imala prekid. Jer, kako god da izaberemo okolinu tačke b, postoji neka tačka x0, dovoljno blizu dvojke, za koju je f(x0) dovoljno daleko od b. Razumete?

      Komentar od jelena100janovic — 28. decembar 2014. @ 6:34 pm | Odgovor

  5. […] Leva i desna granična vrednost […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: