On-line učionica

29. jun 2013.

Intuitivna ideja o pojmu granične vrednosti (limesa) funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:02 pm

Granična vrednost ili limes funkcije je „visina“ – vrednost koju funkcija „namerava“ da dostigne.

Većina funkcija je jednostavna – ako namerava da dostigne vrednost 3, dostigne je, ako namerava da dostigne 6, dostigne je.

Slika322

Kako se određuje vrednost funkcije?

Uzmimo jednostavan primer:

Formula1043

Razni x-ovi imaju razne vrednosti.

Slika323Na primer, za

Formula1044

vrednost će biti

Formula1045

A to je i limes – kada x teži da bude 2, funkcija teži da dostigne visinu 4. To pišemo ovako:

Formula1046

Postoje funkcije koje ne dolaze do nameravane vrednosti, na primer:

Formula1047

Njen grafik izgleda ovako:

Slika324

Vidite da grafik ima rupu. To možemo i da proverimo:

Formula1048

Ne sme da se deli nulom! Dakle, ova funkcija nema vrednost za

Formula1044

ali zato ima limes:

Formula1049

To nas dovodi do sledećeg važnog pitanja, kada limes uopšte postoji? Pre nego što odgovorimo na to pitanje, uradićemo jedan primer.

Primer 1: Naći

Formula1050

Rešenje: Kako da otkrijemo čemu teži funkcija, kad x teži 1? Napravićemo tablicu vrednosti blizu 1:

x 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1
f(x) 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1

Na osnovu vrednosti u tablici, možemo zaključiti da je:

Formula1051

Naravno, ovako se zadaci ne rade iz prostog razloga što smo vrednost limesa određivali „odokativno“, a to ne mora biti (i najčešće nije) tačno.

Ali, osnovnu ideju smo dobili: granična vrednost funkcije f(x) kada x teži broju 1 (nazovimo ga x0), je broj 2 (nazovimo ga b), ako je u dovoljno maloj okolini jedinice, vrednost funkcije dovoljno blizu dvojke. Formalno matematički idemo korak dalje i tvrdimo da za proizvoljno malu epsilon-okolinu dvojke (b) postoji delta-okolina jedinice (x0), takva da sve vrednosti funkcije iz delta-okoline x0 pripadaju epsilon-okolini b:

Formula1054

8 komentara »

  1. Slučajno nabasah na ovu stranicu i zgrozih se. Funkcije nisu svesna živa bića da bi bilo šta „nameravale“. Funkcije imaju svoju vrednost, a ne „visinu“. „Većina“ funkcija je izrazito komplikovana (npr. neprekidnih funkcija koje smatramo jednostavnijim, mada mogu da budu jako kompleksne, ima zanemarivo malo). Na osnovu vrednosti datih u tablici ne može se ništa zaključiti – moguće je lako navesti funkcije koje zadovoljavaju vaše tablice, ali nemaju granične vrednosti koje ste naveli. Limes funkcije je pojam koji je uvek vezan za neku vrednost argumenta tj. moguće je govoriti iskljucivo o „limesu funkcije kada x teži x0“, dok pojam „limes funkcije“ sam za sebe ne znači ništa. Limes funkcije f kada x teži x0 je broj y0 ako za svako eps > 0 postoji delta > 0 tako da kada god je 0 < |x-x0| < delta tada je |f(x)-y0| < eps. Prostije rečeno, limes funkcije f kada x teži x0 je broj y0 ako se f(x) može proizvoljno približiti broju y0, tako što se x približi broju x0 (ali tako da je različito od x0). Ako predajete matematiku na isti način na koji ste napisali ovaj blog, molim Vas nemojte to više da radite – otvorite neki udžbenik matematike, naučite elementarne pojmove, pa tek onda širite znanje. Uprošćavanja u nastavi matematike mogu da imaju smisla, ali samo dok su objašnjenja i dalje tačna i smislena.

    Komentar od Filip Maric — 29. jun 2013. @ 4:11 pm | Odgovor

    • Svakako kolega. Potpuno ste u pravu, ali tu priču razume oko 5% mojih učenika, a svi će morati da rešavaju zadatke sa limesima…
      Kada sam predavala limese po udžbeniku matematike, sa sve „dubljenjem na glavi“ da bih objasnila šta su epsilon i delta okoline tačaka, imala sam uporno preko 50% negativnih ocena. Čak i kada su nekako to pokušavali da poprave, shvatila sam da su učili samo postupak rešavanja zadatka, kao recept za tortu – potpuno bez razumevanja. (Naravno, čast izuzecima😉 )
      Ali evo, u čast strogosti matematičkog jezika, promeniću naslov i dodaću strogu definiciju na kraju teksta🙂

      Komentar od jelena100janovic — 29. jun 2013. @ 4:32 pm | Odgovor

      • Ovo me podseća na priču kada je nastavnik učio učenike da sabiraju razlomke tako što je a/b + c/d = (a+b)/(c+d). Na pitanje zašto to radi odgovorio je: „Učio sam ja njih kako treba, ali nikako nisu mogli da nauče, a ovako su svi odmah ukapirali“🙂 Šalu na stranu, podržavam potpuno inicijativu da se matematika učini što pristupačnijom deci, ali samo mora se biti veoma pažljiv da se prilikom uprošćavanja ne uvedu greške (poput zaključivanja da je nešto limes tako što se pogleda samo mali skup vrednosti funkcije u okolini tačke). Po mom mišljenju, ključni problem ovde je to što je plan i program preambiciozan i zaista nema svrhe očekivati od opšte srednjoškolske populacije da razume suptilne pojmove poput granične vrednosti funkcije. Ja bih ovo pričao samo učenicima kojima će ovo biti potrebno u daljem školovanju. PS: Ocene su od 1 do 5, tako da negativnih ocena nema🙂

        Komentar od Filip Maric — 29. jun 2013. @ 7:18 pm

      • Kolega, baš ste me nasekirali, pa sam stvarno ponovo pogledala u udžbenik… I tamo ova lekcija počinje potpuno sličnim primerom kao što je moj, a potom sledi definicija sa sve ilustracijama kao moja prva dva primera, ali sa opštim, a ne konkretnim brojevima.
        Smatram da nisam preterala u uprošćavanju lekcije. Neke strogosti sam prosto izbegla – ne znam da li ste primetili da nisam pominjala domen funkcije, ni tačke nagomilavanja, a pominju se u npr. definiciji u zbirci. Cilj ovih članaka je da učenici mogu sami da nauče lekcije koje su propustili. Ako budu strogo formalne, neće to ni pokušati.
        Sekundarni cilj uopšte postojanja ove lekcije u planu i programu jeste da učenici steknu osećaj šta računaju računajući limes, a pogotovo kada stignu do pojma asimptota. Slično je i sa definicijom izvoda funkcije, kao i određenog integrala. Nikome od njih to nije potpuno jasno i ne treba da bude sem ako budu krenuli našim stopama. Ali, ideju o tim pojmovima, svakako treba da imaju.

        Komentar od jelena100janovic — 29. jun 2013. @ 7:39 pm

  2. Nije mi bila namera da vas sekiram. Izvinite. Pojmovi koje ste naveli su napredni (limes, asimptota, izvod) – većina učenika, na žalost, nema izgrađene mnogo elementarnije pojmove (npr. sam pojam funkcije). Zato su ozbiljna uprošćavanja u nastavi potrebna – to dobro osećate. Iako sam možda nastupio agresivno, cenim Vaš trud. Jedino je potrebno pažljivo birati reči i naglasiti da je nešto uprošćeno. Ne može se reći „limes funkcije je …“ jer to ne znači ništa (šta je „limes funkcije x+3“), što radite u prvoj rečenici, već se mora reći „limes funkcije kada x teži x0 je …“. Dalje, nakon što napravite tablicu vrednosti funkcije, treba reći: „Na osnovu ovih vrednosti možemo pretpostaviti da je limes funkcije u tački 1 jednak 2. To je moguće i formalno dokazati, što ovde nećemo raditi – pokušajte sami, za domaći zadatak.“. Vi kažete „možemo zaključiti“, ovo nije ispravan matematički zaključak (dokaz), samo je jedna pretpostavka (koja je u ovom slučaju tačna). Matematika jeste dedukcija. Induktivno rezonovanje („bockanje“ tačkica) mora da postoji i treba da učenicima pruži neku intuiciju, ali komponenta dedukcije (formalan dokaz) mora da sledi iza toga. Saglasan sam da je ta komponenta učenicima previše komplikovana. Saglasan sam i da ne moraju svi uvek da je sprovode. Ali smatram da treba da im se uvek jasno naglasi da je ta komponenta preskočena i da posao nije završen dok dokaz nije sproveden, inače može doći do ozbiljnih grešaka.

    Komentar od Filip Maric — 30. jun 2013. @ 9:56 am | Odgovor

  3. […] Granična vrednost funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor

  4. Odlicno priblizeno obicnom smrtniku.Samo tako profesorice.Pogledat cu kad stignem mogu li da shvatim diferencijale,integrale ako ih imate na ovoj stranici.

    Komentar od Salko Jakirovic — 1. jul 2016. @ 4:16 pm | Odgovor

  5. Odlican clanak o limesima koji moze shvatiti obican covjek.Pogledat cu slijedecih dana meni nejasne diferencijale,integrale ako ih ima na ovom blogu.Hvalaj os jednom.

    Komentar od Salko Jakirovic — 1. jul 2016. @ 4:18 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: