Površina piramide

Piramida ima jednu osnovu i sve bočne strane se seku u zajedničkom vrhu. Ivice između bočnih strana su bočne ivice. Ivice između osnove i bočnih strana se nazivaju osnovne ivice. Kada bi crtali visinu kose piramide na slici, ona bi padala u kraj osnove.

Kada visina piramide pada pravo u centar osnove, za piramidu kažemo da je prava. Piramide koje za osnovu imaju pravilan mnogougao nazivamo pravilnim. Sve piramide imaju i apoteme, visine bočnih strana. Obzirom na osobine pravih pravilnih piramida, njihove apoteme su podudarne. Kod ostalih piramida nisu.

Primer 1: Nađimo apotemu pravilne četvorostrane piramide osnovne ivice 16, a visine 24.

Rešenje: Prvo ćemo nacrtati skicu, a onda ćemo naći odgovarajući pravouglli trougao:

Tražena apotema je hipotenuza ovog pravouglog trougla, čija je jedna kateta visina, a druga polovina osnovne ivice. Upotrebićemo Pitagorinu teoremu:

Površina pravilne piramide

Koristeći mrežu pravilne piramide, vidimo da je površina svake od bočnih strana

Primer 2: Nađimo površinu piramide iz prvog primera.

Rešenje: Površina omotača se sastoji od četiri trougla površine:

Da bi našli ukupnu površinu, trebaće nam i površina osnove, koja iznosi:

Ukupna površina je:

Iz ovog primera vidimo da je površina pravilne četvorostrane piramide:

Ako to uopštimo na n strana, dobićemo:

Površina prave pravilne piramide: Ako je B površina osnove, a dužina osnovne ivice i h apotema, onda je:

Inače, koristite sami mrežu da izvodite formulu. Sve trougaone strane su podudarne, plus površina osnove. Ne treba da pamtite formulu, samo postupak, a pravilo važi za sve.

Primer 3: Nađimo površinu pravilne trostrane piramide osnovne ivice 8, a apoteme 18.

Rešenje: Površina osnove je:

jer je u pitanju jednakostranični trougao. Ukupna površina je onda:

Primer 4: Ako je površina omotača pravilne četvorostrane piramide 72 m² i osnovna ivica i apotema su podudarne, nađimo dužinu osnovne ivice.

Rešenje: Površina omotača se sastoji od 4 trougla. Zamenimo poznate u jednačini i rešimo po a.

Primer 5: Nađimo površinu pravilne šestostrane piramide osnovne ivice 10 i apoteme 22.

Rešenje: Pravilni šestougao se sastoji od 6 jednakostraničnih trouglova, tako da je površina osnove

Ukupna površina piramide je onda:

Advertisements