On-line učionica

20. januar 2013.

Još malo trigonometrijskih formula

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:07 pm

Količnički odnosi

Definicije trigonometrijskih funkcija su nas dovele do recipročnih odnosa trigonometrijkih funkcija. Takođe su nas dovele i do još jednog skupa formula, količničkih odnosa.

Razmotrimo prvo sinus, kosinus i tangens. Za uglove na jediničnom krugu, ove funkcije su definisane na sledeći način:

Formula747

Gledajući ove definicije, možemo pokazati da je

Formula748

pod uslovom da je cos θ ≠ 0:

Formula749

Jednačina

Formula748

je zato formula koja nam omogućava da izračunamo tangens, ako su nam dati sinus i kosinus.

Primer 1: Ako je cos θ = 5 / 13, a sin θ = 12/13, kolika je vrednost tg θ?

Rešenje:

Formula750

Primer 2: Pokažimo da jectg θ = cos θ / sin θ.

Rešenje: Formula751

Ovo je takođe formula koju možemo koristiti da bi našli vrednost kontangensa, ako su date vrednosti sinusa i kosinusa. Obe ove formule će takođe biti korisne sledeće godine, kada ćemo dokazivati druge formule.

Trigonometrijske formule sa komplementnim uglovima i simetrije

Ove formule se odnose na ono što smo radili na početku. Podsetimo se da je

Formula752

ako su α i β komplementni uglovi. Kako u stvari glase formule, prikazano je ispod:

Formula753

Primer 3: Nađimo vrednost trigonometrijskih funkcija:

a) cos 120°

b) cos (-120°)

c) sin 135°

d) sin (-135°)

Rešenje: Pošto svi ovi uglovi za referentne imaju uglove od 60° i 45°, rešenja su:

a)Formula754

b) Formula755

c) Formula756

d) Formula757

Ovaj primer nam je pokazao kako se sinus i kosinus simetrično preslikavaju preko x-ose. To nam omogućava da napravimo još tri formule:

Formula758

Osnovni trigonometrijski identitet

Ovo je poslednja grupa formula koju učimo ove godine. Ponekad se nazivaju Pitagorejski identiteti, jer se izvode iz Pitagorine teoreme. Do sada smo koristili Pitagorinu teoremu da bismo našli stranice pravouglih trouglova. Razmotrimo još jednom način na koji smo definisali trigonometrijske funkcije. Pogledajmo jedinični krug:

Slika241

Katete pravouglog trougla su x i y. Hipotenuza je 1. Zato je sledeća jednakost tačna za sve x i y na jediničnom krugu:

Formula759

Sada se setite da je na jediničnom krugu cos θ = x,a sin θ = y. Zato je sledeća jednakost formula:

Formula760

Napomena: Pisanje eksponenta 2 nakon skraćenica cos i sin je standardan način pisanja eksponenta. Samo zapamtite da:

Formula761

Ovu formulu možemo koristiti za nalaženje sinusa, kada nam je dat kosinus, i obrnuto. Takođe je možemo koristiti da bi izveli druge formule.

Primer 4: Ako je cos θ = 1 / 4, koliko je sin θ? Pretpostavimo da je θ ugao u prvom kvadrantu.

Rešenje

Formula762

Setite se da smo pretpostavili da je θ ugao u prvom kvadrantu. Zato mu je sinus pozitivan, pa je:

Formula763

Primer 5: Upotrebimo osnovni trigonometrijski identitet da bi pokazali da je:

Formula764

Rešenje: Počećemo od leve strane jednakosti:

Formula765

Pitanjca za razmišljanje:

  1. Kako znate kada je jednakost formula?
  2. Kako proveravamo tačnost formule?
  3. Kako proveravamo da li smo dobro odredili domen i kodomen?

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: