On-line učionica

19. decembar 2012.

Poliedri

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:19 am

Poliedar

Poliedar: Trodimenzionalna figura koja se sastoji od mnogouglova koji ograničavaju neki deo prostora.

Svaki mnogougao u poliedru se naziva strana. Duž po kojoj se dve strane seku se naziva ivica, a tačka preseka dve ivice je teme. Ne postoje šupljine kod ivica ili temena poliedra. Primeri poliedara su kocka, prizma, ili piramida. Primeri tela koji nisu poliedri su kupa, sfera i valjak jer imaju strane koje nisu mnogouglovi.

Slika275

Prizma: Poliedar sa dve podudarne strane (baze) u paralelnim ravnima, čije su bočne strane pravougaonici.

Slika276

Piramida: Poliedar sa jednom bazom i bočnim stranama koje se sve seku u jednoj tački. Bočne strane su trouglovi.

Slika277

Sve prizme i piramide se imenuju na osnovu svojih baza. Dakle, prva prizma bi bila trostrana prizma, a druga bi bila osmostrana prizma. Prva piramida bi bila šestosrana piramida, a druga bi bila četvorostrana piramida. Možemo reći i pravougaona piramida.

Primer 1: Utvrdimo da li su sledeća tela poliedri. Ako jesu, imenujmo ih i prebrojimo strane, ivice i temena koja ima.

Slika278

Rešenje:

a)  Baza je trougao i sve strane su trouglovi, pa je ovo poliedar, trostrana piramida. Ima 4 strane, 6 ivica i 4 temena.

b) Ovo telo je takođe poliedar jer su mu sve strane mnogouglovi. Obe baze su petouglovi, pa je reč o petostranoj prizmi. Ima 7 strana, 15 ivica i 10 temena.

c) Ovo je valjak i njegove baze su krugovi. Krugovi nisu mnogouglovi, pa ovo nije poliedar.

Ojlerova teorema

Hajde da unesemo rezultate prethodnog primera u tabelu.

Telo Strana Temena Ivica
Trostrana piramida 4 4 6
Petostrana prizma 7 10 15

Primetimo kako je zbir strana i temena za dva veći od broja ivica. Ovo se naziva Ojlerova teorema, po švajcarskom matematičaru Leonardu Ojleru.

Ojlerova teorema: Za broj strana (s), temena (t) i ivica (i) nekog poliedra važi:

Formula803

Primer 2: Nađimo broj strana, temena i ivica osmostrane prizme.

Slika279

Rešenje: Pošto je ovo poliedar, možemo koristiti Ojlerovu teoremu da bismo našli neki od traženih brojeva. Najlakše je prebrojati strane, ima ih 10. Ako prebrojimo temena, dobićemo 16. Pomoću toga, iz Ojlerove teoeme ćemo izračunati broj ivica.

Formula804

Imamo 24 ivice.

Primer 3: U poliedru sa šest strana ima 10 ivica. Koliko temena ima taj poliedar?

Rešenje: Iz Ojlerove teoreme izračunajmo broj temena.

Formula805

Imamo 6 temena.

Primer 4: Trodimenzionalna figura ima 10 temena, 5 strana i 12 ivica. Da li je to poliedar?

Rešenje: Uvrstimo sva tri broja u Ojlerovu teoremu.

Formula806

Pošto smo dobili netaču jednakost, ova figura nije poliedar.

Pravilni poliedri

Pravilni poliedar: Poliedar čije su sve strane međusobno podudarni pravilni mnogouglovi.

Slika280

Poliedri, kao i mnogouglovi mogu biti konveksni ili konkavni (nekonveksni). Svi pravilni poliedri su konveksni. Konkavan poliedar podseća na konkavan mnogougao. Poliedar „se udubljuje“, tako da se dva nesusedna temena mogu povezati pomoću duži koja je van poliedra.

Postoji pet pravilnih poliedara koji se nazivaju Platonova tela, po grčkom filozofu Platonu. Ovih pet tela su značajna jer predstavljaju jedinih pet pravilnih poliedara. Ima ih samo pet jer zbir uglova koji se sastaju kod svakog temena mora biti manji od 360°. Zato su jedine kombinacije 3, 4, ili 5 trouglova u svakom temenu, 3 kvadrata u svakom temenu, ili 3 petougla. Svaki od ovih poliedara se imenuje na osnovu broja strana.

Pravilni tetraedar: Poliedar sa 4 strane – jednakostranična trougla.

Pravilni heksaedar (kocka): Poliedar sa 6 strana – kvadrata.

Pravilni oktaedar: Poliedar sa 8 strana – jednakostraničnih trouglova.

Pravilni dodekaedar: Poliedar sa 12 strana – pravilnih petouglova.

Pravilni ikosaedar: Poliedar sa 20 strana – jednakostraničnih trouglova.

Htela sam ovde da napravim sliku, ali umesto toga – pogledajte kako je moj kolega Siniša obradio Platonova tela.

4 komentara »

  1. Хвала колегинице🙂 Одличан Вам је чланак!

    Komentar od Синиша Бубоња — 19. decembar 2012. @ 11:17 pm | Odgovor

    • Bolje ovako, nego da sam ukrala od Vas one lepe slike😀 Šalim se… Bilo mi je zadovoljstvo🙂

      Komentar od jelena100janovic — 19. decembar 2012. @ 11:38 pm | Odgovor

  2. Gde su ovde povrsine i zapremine ? .i.

    Komentar od ivan — 17. jun 2013. @ 2:30 pm | Odgovor

    • Da… Naslov je bio za celu oblast, ali se ne uklapa u baš ovaj članak. Možda promenim… Videću još🙂
      Hvala za primedbu, u svakom slučaju🙂

      Komentar od jelena100janovic — 18. jun 2013. @ 7:46 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: