On-line učionica

11. decembar 2012.

Površina kružnog isečka i odsečka

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:33 pm

Primer 1: Površina kružnog isečka je , a poluprečnik kruga je 12. Koliki je odgovarajući centralni ugao?

Rešenje: Zamenimo poznato u formulu za površinu isečka i onda rešimo u funkciji centralnog ugla.

Formula781

Primer 2: Površina kružnog isečka je 50π, a njegova dužina luka je . Nađimo poluprečnik kruga.

Rešenje: Prvo ćemo zameniti poznate veličine u obe formule – za površinu isečka i dužinu luka. U obema jednačinama se pojavljuje centralni ugao α.

Formula782

Ovaj sistem jednačina možemo rešiti  metodom zamene, i pritom možemo zameniti ili ugao, ili poluprečnik. Pošto se u zadatku traži poluprečnik, trebalo bi da drugu jednačinu rešimo po uglu i to zamenimo u prvoj jednačini. Onda možemo da je rešimo po poluprečniku. Izražavajući α iz druge jednačine, dobijamo:

Formula783

Zamenimo ovo u prvu jednačinu:

Formula784

Mogli smo takođe da izračunamo centralni ugao u ovom primeru. Centralni ugao je:

Formula785

Kružni odsečci

Poslednji deo kruga kome tražimo površinu je kružni odsečak.

Kružni odsečak: Deo kruga ograničen tetivom i njoj odgovarajućim lukom.

Primer 3: Nađimo površinu odsečka na slici ispod:

Slika267

Rešenje: Kao što možemo videti sa slike, površina odsečka je površina isečka umanjena za jednakokraki trougao koji čine poluprečnici i tetiva. Ako podelimo jednakokraki trougao na pola, videćemo da je svaka polovina specijalni 30-60-90 trougao, kome je poluprečnik hipotenuza. Zato je visina našeg jednakokrakog trougla:

Formula786

a osnovica, odnosno tetiva bi bila:

Formula787

Dakle je:

Formula788

Površina odsečka je:

Formula789

U prethodnomprimeru je ugao koji je dat bio „specijalan“ i ne može se uopštiti na bilo koji ugao. U opštem slučaju, koristićemo formulu za površinu trougla u kojoj figurišu tri data elementa: dve stranice i njima zahvaćen ugao:

Formula790

Kada budete vežbali zadatke, pazite na to u kom obliku je potrebno prikazati odgovor.

Ako ne piše ništa posebno, odgovor se ostavlja kao u prethodnom primeru – matematičari vole tačne odgovore, iako nekad nisu primenjivi😉

Ako se u zadatku traži da se neke dve stvari uporede, ili je zadatak praktičan, onda možete sve izračunati na digitronu i dati približno rešenje. Zamislite samo situaciju iz tekstualnog zadatka, gde na kraju odlazite u prodavnicu i kažete: „Dajte mi 192 pi minus 144 korena iz tri kvadratnih metara pločica!“ To ne bi bila baš najbolja ideja, zar ne?

Sa druge strane, zamislimo da je zaista bio tekstualni zadatak i da nam se traže te pločice, koje su kvadratne i da su mere baš u ivicama pločica. Ali da je pitanje: „Koliko pločica treba kupiti?“

Formula791

Šta je odgovor? Odgovor nije 353,46 pločica, jer ih ne možemo kupovati na deo. Iako je 353,46 približno 353, ni to nije tačan odgovor, jer bi nam tako nedostalo materijala. Tačan odgovor je: „Potrebno je kupiti 354 pločice.“

1 komentar »

  1. Površina kružnog isečka i odsečka
    (Jednostavno i tačno izračunavanje)

    Površinu kružnog isečka lako je izračunati ako su poznati radijusi (poluprečnici) = r i veličina vršnog ugla = α pod kojim je isečak isečen iz odredjenog kruga.

    Formula = (r² πα )/(360°)

    Isto tako lako je izračunati i kada su poznati poluprečnici = r i dužina luka = ℓ koji zatvara kružni isečak .

    Formula = (r² πl )/2rπ

    Pri čemu se rπ u imeniocu i brojiocu može kratiti ( ukinuti ) pa ostaje

    Formula = (rl )/2

    Ali sa prikazanim faktorima rπ formula je razumljivija.

    Zanemarimo činjenicu da kružni isečak možemo tetivom podeliti na jednakostranični trougao i kružni odsečak, jer to vodi u komplikovano računanje površine kružnog odsečka.

    Do formule za izračunavanje površine kružnog odsečka doći ćemo postepeno i uz odgovarajuće objašnjenje.

    Najpre nacrtamo kvadrat i oko njega opišemo kružnicu. Vidimo da stranice kvadrata u krugu ocrtavaju četiri potpuno jednaka kružna odsečka.

    Površinu bilo kojega od njih izračunati ćemo po formuli:

    (r² π-a² )/4

    Za računanje po ovoj formuli dovoljno je poznavati samo jednu dužinu ( a ili r ), budući da je a² = 2 r² odnosno r² = a²/2 . Dokaz: u kvadratu nacrtajte obe dijagonale.

    Ako prikazanu formulu pomnožimo sa a ( dužina stranice kvadrata) dobijamo
    “ poboljšanu” formulu:

    (r^2 π-a^2 )a/4a pri čemu uočavamo da smo imenilac sveli na izraz kojim izračunavamo opseg kvadrata.

    Obe navedene formule primenjive su samo na “specijalne” kružne odsečke, koji udruženi svojim jednakim tetivama mogu stvoriti kvadrat – a da pri tome njihovi lukovi zatvaraju pravilan krug.
    U praksi takve kružne isečke gotovo nikada nećemo sresti.

    Moramo krenuti drugim putem.

    Nacrtajmo pravougaonik i oko njega opišimo kružnicu. Opet imamo 4 kružna odsečka od kojih su po 2 nasuprotna medjusobno jednaki.
    Vidi skicu.

    Sada imamo situaciju da bilo kojemu kružnom odsečku možemo nacrtati simetralu i na simetrali pomoću šestara i zakrivljenosti luka odsečka pronaći središte kruga i tako nacrtati krug kojemu odsečak pripada. Potom u krugu ucrtamo nasuprotni kružni odsečak i dodamo bočne kružne odsečke.

    Pravougaonik nije strogo definisan poput kvadrata. Njegove 2 i 2 nasuprotne stranice (tetive odsečaka) jednake su, ali omjer im nije definisan.

    Kod pravougaonika u krugu važi pravilo: ako se horizontalne stranice (tetive) primiču ka centru kruga izdužuju se a vertikalne stranice istovremeno se skraćuju. Ako se horizontalne stranice odmiču od centra kruga skraćuju se, a istovremeno vertikalne stranice produžuj se. Sve to naravno ostaje u krugu i uvek imamo lik pravougaonika.
    To znači da na pravougaonik uvek možemo računati pri izračunavanju površine bilo kojega kružnog odsečka.

    Prilagodimo “poboljšanu” formulu za izračunavanje površine kružnog odsečka pomoću kvadrata, za izračunavanje pomoću pravougaonika.

    Formula: (r^2 π-ab)a/(2(a+b))

    Pomoću navedene formule rešimo praktični primer:
    Inventurna komisija na dan popisa treba izračunati koliko litara goriva ima u cisterni. Cisterna ima oblik valjka i ukopana je u zemlju. Poznato je da je cisterna:
    duga 10m
    duboka 2m
    nivo goriva je 40cm ( izmereno pomoću merne letve)

    Nacrtajmo krug koji predstavlja čeoni profil cisterne. Vertikalnom simetralom koja može imati funkciju merne letve podelimo krug.
    Na mernoj letvi od dna na gore označimo izmereni nivo goriva. Zatim ucrtajmo horizontalnu liniju koja pokazuje nivo goriva i iznačimo je sa a.
    Isto tako, ali mereno od vrha prema dnu na mernoj letvi označimo izmerenu dubinu goriva i tu povucimo paralelnu liniju sa linijom površine goriva.
    Vertikalama spojimo krajeve horizontalnih linija i nacrtali smo pravougaonik u krugu, kao na skici:

    U pravougaoniku nacrtajmo jednu dijagonalu, tako smo ga podelili na dva jednaka pravougaona trougla; pri čemu je dijagonala ustvari hipotenuza trougla označena sa c. Horizontalna kateta već ima oznaku a. Vertikalnu katetu označimo sa b.

    Sada koristimo elemente cisterne:
    D = 1000 cm (dužina cistern)
    c = 200 cm (prolazi kroz sedište kruga=dubini cisterne)
    b = 120 cm (200-40-40)

    Sada možemo izračunati dužinu katete a :

    c² = 200² = 40.000
    b² = 120² = 14.400
    a = √25.600 = 160cm
    Sada primenimo formulu:

    (( 〖100〗^2•3,1416-160•120)•160)/(2(160+120))=((31416-19200)•160)/560=(122016•160)/560= 3490,29 litara goriva

    U ovome primeru površina kružnog odsečka u cm² jednaka je količini goriva u litrima. Dalje računanje nije potrebno zbog toga što je dužina cisterne 1000cm, pa bi množenjem dobili rezultat u cm³, a onda bi taj rezultat deljenjem sa 1000 pretvorili u litre (dm³).

    Varijanta 2

    Medjutim kada bi uz iste uslove dužina cisterne bila 7m, računali bi dalje

    3490,29•700/1000=2443,20 litara

    Varijanta 3

    Uzmimo da je komisija u istoj cisterni izmerila nivo goriva preko polovine cisterne – na primer 160cm.
    Tada bi pravougaonik ucrtali kao da je “uronjen” u gorivo, a potpuno istom računicom dobili rezultat 3490,29cm²; što bi predstavljalo površinu gornjeg kružnog odsečka.
    Da bi izračunali površinu ostatka kruga treba od površine punog kruga odbiti površinu gornjeg odsečka, dakle: 31416-3490,29=27925,71cm²=litara (kada je dužina cisterne 10m).

    Još jednostavnije je da je nivo goriva izmeren 100cm. Tada bi puni kapacitet cisterne 31416 litara podelili sa 2 = cisterna puna do pola.

    Naravno najjednostavnije je zatražiti od “Naftagasa” da našu cistern dopuni “do čepa”. U tom slučaju sadržaj cisterne “na kritični moment” jednak je razlici izmedju punog kapaciteta cisterne i dopunjene količine goriva.

    Ne znam da li iznešeno može biti “zabavno”, ali siguran sam da može biti korisno.

    Stefan Nikolic Skale

    Komentar od Stefan — 21. mart 2014. @ 11:46 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: