On-line učionica

9. decembar 2012.

Obim i dužina luka kruga

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:53 pm

Obim kruga je dužina kružne linije.

Da bismo našli formulu za obim kruga, prvo treba da odredimo odnos između obima i prečnika kruga.

Nalaženje broja π (pi)

Prvi dokument koji pominje broj pi je Ahmesov papirus, iz II veka pre nove ere. U njemu je broj pi procenjen na:

Formula740

Nije baš najtačnije, ali je prilično dobra procena za to doba.

Više od 1000 godina kasnije, u Bibliji, u Starom Zavetu, broj pi je procenjen na 3. Ne baš tako dobro kao u Ahmesovom papirusu.

Par godina kasnije, oko 250. godine pre nove ere, Arhimed sa Sirakuze je pokušao da proceni broj pi kao obim 96-ougla. Dobio je da je:

Formula741

Ako uzmemo sredinu između ova dva broja, dobijamo neverovatno dobru procenu: 3,1418! Sjajno🙂

Danas, računari procenjuju i računaju broj pi.

3.14159265358979323846…

No, dosta o istoriji – vratimo se na matematiku!

Verovatno vam je poznata formula za obim kruga. Iz gornjeg teksta, naučili smo da je:

Formula742

Hajde da skratimo oznake i izrazimo obim.

Formula743

Obim kruga: Ako je poluprečnik kruga r, onda je obim:

Formula744

Primer 1: Nađimo obim kruga poluprečnika 7 cm.

Rešenje: Zamenimo poluprečnik u formulu:

Formula745

U zavisnosti od toga kakav je zadatak, možemo ostaviti rezultat sa pi, ili pomnožiti i dobiti približnu vrednost. Šta se traži u zadatku je pitanje pažljivog čitanja teksta.

Primer 2: Obim kruga je 64π. Nađimo prečnik.

Rešenje: Ponovo, zamenićemo poznate u formuli i rešiti:

Formula746

Primer 3: Krug je upisan u kvadrat stranice 10 cm. Koliki je obim kruga?

Slika259

Rešenje: Sa slike možemo videti da je prečnik kruga jednak dužini stranice. Upotrebimo formulu za obim:

Formula766

Primer 4: Nađimo obim kvadrata. Da li je on veći ili manji od obima kruga? Zašto?

Rešenje: Obim kvadrata je:

Formula767

Da bismo poredili ove dve veličine, moramo obim kruga izraziti decimalnim brojem.

Formula768

Ovo je manje od obima kvadrata, što ima smisla pošto je krug manji od kvadrata.

Dužina luka

Lukove na krugu ste merili na dva načina: dužinom i stepenima. Meru u stepenima ste dobijali na osnovu veličine odgovarajućeg centralnog ugla. Meru u dužini dobijamo kao odgovarajući deo obima.

Dužina luka: Dužina luka kruga je odgovarajući deo obima kruga.

Dužina luka je direktno vezana za veličinu odgovarajućeg centralnog ugla. Pogledajmo primer.

Slika260

Primer 5: Nađimo dužinu luka PQ.

Rešenje: Sa slike vidimo da je centralni ugao koji odgovara luku PQ 60°. Dakle, mislićemo o luku kao delu obima kruga. Pun krug ima 360°, pa bi 60° bila jedna šestina. Zato je dužina luka PQ jedna šestina obima kruga:

Formula769

Dužina luka: Ako je r poluprečnik kruga i α odgovarajući centralni ugao, onda je dužina luka:

Formula770

Primer 6: Dužina luka AB je i predstavlja četvrtinu obima. Nađimo poluprečnik kruga.

Rešenje: Ako je četvrtina obima kruga, onda je ukupni obim:

Formula771

Da bismo našli poluprečnik, uvrstićemo ovaj rezultat u formulu za obim i rešiti po r:

Formula772

11 komentara »

  1. kako da izracunam obim kruga opisanog oko
    kvadrata ctranice 7cm
    pravougaonika ctranica 8cm i 15cm
    jednakostranicnog trougla stranice 3 cm

    Komentar od Emin — 18. april 2013. @ 3:00 pm | Odgovor

    • 🙂 Ovoliko od mene – vidljiv je komentar. Pa sad, ako Ti neko odgovori…

      p.s. Ne mogu i neću ja da Vam radim domaće i kontrolne zadatke. Onda bi celo ovo mesto izgubilo poentu😉

      Komentar od jelena100janovic — 19. april 2013. @ 3:18 pm | Odgovor

  2. kako da izracunam obim kruga opisanog oko
    kvadrata ctranice 4cm
    pravougaonika ctranica 9cm i 15cm
    jednakostranicnog trougla stranice 3 cm

    Komentar od ADEL — 6. jun 2013. @ 4:11 pm | Odgovor

  3. Nadji odgovor u kjigama za 7. razred.

    Komentar od Aleksandar — 25. maj 2014. @ 4:57 pm | Odgovor

  4. Super je samo koliko vrijedi pi

    Komentar od Milena — 15. maj 2015. @ 4:26 pm | Odgovor

  5. Ako ti je krug opisan oko kvadrata onda ti je 2r dijagonala kvadrata. Znaci r je pola dijagonale… Toliko od mn znas sam dalje valjda🙂

    Komentar od Čoda — 28. maj 2015. @ 5:29 pm | Odgovor

  6. Ljudi kako da izračunam obim kruga,ali neko da mi to malo pojasni,i dalje ne razumem
    p.s.Četvrti sam razred OŠ.I volela bih to da naučim!

    Komentar od tamara*-* — 10. januar 2016. @ 2:48 pm | Odgovor

    • Uzmi šestar, nacrtaj krug i jedan njegov prečnik. Onda uzmi končić dužine prečnika i „omotavaj“ po krugu. Videćeš da ćeš moći da ga preneseš 3 puta i ostaće Ti mrvica. To „3 i mrvica“ se zove broj „pi“ i znosi približno 3,14. Znači obim kruga je „3 cela i mrvica“ puta prečnik kruga. A to je formula „pi“ puta 2r.

      Komentar od jelena100janovic — 10. januar 2016. @ 3:46 pm | Odgovor

  7. kako mogu izracunati kruzni luk ako znam samo ugao 72stepena

    Komentar od enis — 28. maj 2016. @ 7:12 pm | Odgovor

    • Pogledaj primer pet duzina luka, to ti je jedna od osnovnih formula.

      Komentar od mr. — 9. septembar 2016. @ 5:10 am | Odgovor

  8. […] označava iracionalan broj približno jednak 3,14. Pošto je π odnos obima i prečnika kružnice, obim kružnice se dobija kao proizvod prečnika i […]

    Povratni ping od Obim i površina ravnih figura | On-line učionica — 5. oktobar 2016. @ 12:47 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: