On-line učionica

8. decembar 2012.

Recipročni odnosi između trigonometrijksih funkcija

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:35 pm

Prvi skup formula koje ćemo pomenuti su recipročne formule. Razlomak recipročan razlomku a / b je b / a. To jest, recipročnu vrednost nalazimo zamenjivanjem brednosti brojioca i imenioca, ili obrćući razlomak. Šest trigonometrijskih funkcija se mogu podeliti u parove međusobno recipročnih.

Prvo, pogledajmo definiciju sinusne funkcije na jediničnom krugu:

Formula733

Sada pogledajmo kosekans:

Formula734

Ove dve funkcije, po definiciji, jesu recipročne. Zato su vrednosti sinusa ugla uvek recipročne vrednosti kosekansa, i obrnuto. Na primer, ako je:

Formula735

onda je:

Formula736

Analogno, kosinus i sekans su recipročne funkcije, kao i tangens i kotangens:

Formula737

Primer 1: Nađimo vrednosti izraza:

a) ako je cos θ = 0,3, koliko je sec θ?

b) ako je ctg θ = 4 / 3, koliko je tg θ?

Rešenje:

a) Ove funkcije su međusobno recipročne. Lakše nam je da nađemo recipročnu vrednost pomoću razlomka, pa je:

Formula738

b) I ove funkcije su međusobno recipročne, pa je:

Formula739

Ove relacije možemo koristiti i da bi odredili domen i kodomen funkcija.

Domen, kodomen i znak trigonometrijskih funkcija

Iako trigonometrijske funkcije mogu delovati prilično drugačije od drugih funkcija sa kojima ste rdili, one su u stvari kao bilo koja druga funkcija. Možemo i o njima misliti kao o nečemu čemu treba „ulaz“ i „izlaz“. Ulaz je uvek ugao. Izlaz je odnos stranica trougla. Ako zamislite trigonometrijske funkcije ovako, možete definisati domen i kodomen svake od funkcija.

Razmotrimo prvo sinus i kosinus kao funkcije. Ulaz svake od ovih funkcija je uvek ugao, i kao što ste naučili iz prethodnih članaka, ovi uglovi mogu uzimati proizvoljne realne vrednosti. Zato sinus i kosinus imaju isti domen, skup svih realnih brojeva, R. Kodomen ovih funkcija možemo odrediti ako se setimo da je sinus ugla y-koordinata tačke u kojoj krak ugla seče jedinični krug. Kosinus je x-koordinata te tačke. Sada se setite da je u jediničnom krugu, poluprečnik kruga, odnosno hipotenuza trougla 1.

Slika241

U ovom pravouglom trouglu, x i y su dužine kateta trougla, koje moraju biti kraće od 1, što je dužina hipotenuze. Zato kodomeni sinusa i kosinusa ne uključuju brojeve veće od jedan. Kodomeni, međutim, sadrže negativne brojeve. Svi uglovi čije se završavajući kraci nalaze u trećem ili četvrtom kvadrantu će imati negativne y-koordinate, a oni koji se završavaju u drugom ili trećem kvadrantu će imati negativne x-koordinate.

Slika257

U svakom slučaju, minimalna vrednost je -1. Na primer, cos 180° = -1 i sin 270° = -1. Zato i sinus i kosinus imaju kodomen od -1 do 1.

Poznavanje domena i kodomena kosinusa i sinusa nam može pomoći kod utvrđivanja domena i kodomena sekansa i kosekansa. Prvo pogledajmo sinus i kosekans, koje su kao što smo videli malopre, međusobno recipročne. Kosekans je definisan uvek, sem kada je vrednost sinusa 0. Zato domen kosekansa ne sadrži uglove ćiji je sinus 0, a to su: 0°, 180°, 360°, itd.

U drugoj godini ćete analizirati grafike ovih funkcija, što će vam pomoći da vidite zašto veza recipročnosti rezultuje ovako posebnim kodomenom kosekansa. Za sada ćemo samo navesti kodomen, a kroz brojne primere ćete videti da to važi, kao i domen i kodomen sekansa.

Razmotrimo sada tangens i kotangens. Tangens je definisan kao tg θ = y / x. Zato domen ove funkcije ne sadrži uglove za koje tačka preseka kraka i jediničnog kruga ima x-koordinatu 0: 90°, 270°, itd. Kotangens je definisan kao ctg θ = x / y, pa domen ove funkcije ne uključuje uglove za koje tačka preseka kraka i jediničnog kruga ima y-koordinatu 0: 0º, 180º, 360º, itd.

U tabeli ispod su zajedno prikazani svi rezultati do kojih smo došli:

Funkcija Domen Kodomen
sin R [-1, 1]
cos R [-1, 1]
csc R \ {0°, 180°, 360°, …} (-∞, -1] U [1, +∞)
sec R \ {90°, 270°, …} (-∞, -1] U [1, +∞)
tg R \ {90°, 270°, …} R
ctg R \ {0°, 180°, 360°, …} R

Poznavanje kodomena ovih funkcijavam pomaže u proceni očekivanih vrednosti kada određujete vrednost trigonometrijske funkcije ugla. Međutim, u mnogim zadacima će vam trebati samo znak funkcije ugla: da li je pozitivna ili negativna?

Kod određivanja kodomena sinusa i kosinusa malopre, počeli smo da kategorizujemo znakove ovih funkcija u funkciji kvadranta u kome leži ugao. Na slici ispod su prikazani znaci za uglove u sva 4 kvadranta.

Slika258

Primer 2: Odrediti znak izraza:

a) cos 100°

b) csc 220°

c) tg 370°

Rešenje:

a) Ugao od 100° je u drugom kvadrantu. Zato je x-koordinata negativna, pa je i cos 100° negativan.

b) Ugao od 220° je u trećem kvadrantu. Zato je y-kordinata negativna. Dakle je i sinus, pa i kosekans negativan.

c) Ugao od 370° je u prvom kvadrantu. Zato je tangens pozitivan.

1 komentar »

  1. […] Recipročne trigonometrijske funkcije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 4. januar 2016. @ 4:48 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: