On-line učionica

5. decembar 2012.

Trigonometrijske funkcije negativnog ugla i ugla većeg od pune rotacije

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:27 pm

Trigonometrijske funkcije negativnih uglova

Setite se kako se negativni uglovi crtaju rotacijom u smeru kazaljke na satu. Na slici ispod je prikazan ugao od -30°.

Slika249

Primetimo kako se ovaj ugao isto završava kao ugao od 330º. Dakle, koordinate tačke preseka završavajućeg kraka i jediničnog kruga su:

Formula705

Možemo koristiti njene koordinate da bi našli vrednosti svih trigonometrijskih funkcija od -30°. Na primer,

Formula706

U opštem slučaju, ako je negativnom uglu referentan ugao od 30°, 45°, ili 60°, ili je to kvardantni ugao, možemo naći koordinate presečne tačke njegovog završavajućeg kraka i jediničnog kruga, pa na osnovu toga možemo odediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija tog ugla.

Primer 1: Naći vrednosti izraza:

a) sin (-45°)

b) sec (-300°)

c) cos (-90°)

Rešenje:

a) -45° se nalazi u IV kvadrantu i ima referentni ugao od 45°. To jest, ovaj ugao se isto završava kao ugao od 315°. Zato su koordinate tačke preseka kraka i jediničnog kruga:

Formula707

a vrednost sinusa je:

Formula708

b) Ugao od -300° je u I kvadrantu i ima referentni ugao od 60°. Tačnije, on se isto završava kao ugao od 60°. Zato su koordinate tačke preseka kraka sa jediničnim krugom:

Formula709

a vrednost sekansa je:

Formula710

c) Ugao od -90° se isto završava sa uglom od 270°. Zato su koordinate tačke preseka kraka sa jediničnim krugom:

Formula711

a vrednost kosinusa je:

Formula712

Slika250

Takođe možemo koristiti svoje poznavanje referentnih uglova i koordinata tačaka u kojima se krk ugla seče sa jediničnim krugom za nalaženje vrednosti trigonometrijskih funkcija uglova sa merama većim od 360 stepeni.

Trigonometrijske funkcije uglova većih od 360 stepeni

Razmotrimo ugao od 390°. Kao što smo naučili u prethodnoj lekciji, možete zamisliti ovaj ugao kao punu rotaciju od 360 stepeni, plus dodatnih 30 stepeni. Zato se ugao od 390° završava isto kao ugao od 30°. Kao što ste videli malopre sa negativnim uglovima, ovo znači da su koordinate tačke u kojoj krak ugla od 390° seče jedinični krug iste kao za ugao od 30°, pa zato ima iste trigonometrijske vrednosti. Na primer,

Formula713

slika251

U opštem slučaju, ako ugao veći od 360° ima referentni ugao od 30°, 45°, ili 60°, ili ako je kvardantni ugao, možemo naći koordinatte tačke u kojoj njegov krak seče jedinični krug, a tako možemo naći i sve vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla. Da podsetim, odredite prvo referentni ugao.

Primer 2: Nađite vrednosti izraza:

a) sin 420°

b) tg 840°

c) cos 540°

Rešenje:

a) 420° je puna rotacija od 360 stepeni, plus dodatnih 60 stepeni. Zato se ovaj ugao isto završava sa uglom od 60°, pa imaju i iste koordinate tačke preseka kraka sa jediničnim krugom,

Formula714

Vrednost sinusa je y-koordinata.

Formula715

b) 840° su dve rotacije, ili 720 stepeni, plus dodatnih 120 stepeni. Zato se ugao od 840° isto završava kao ugao od 120°, pa su koordinate presečne tačke kraka i jediničnog kruga:

Formula716

Vrednost tangensa se može naći na sledeći način:

Formula717

c) 540° je puna rotacija od 360 stepeni, plus dodatnih 180 stepeni. Zato se ugao isto završava kao ugao od 180°, a koordinate presečne tačke kraka i jediničnog kruga su:

Formula718

Dakle, vrednost kosinusa je -1.

Do sada su se svi uglovi sa kojima smo radili svodili na uglove od 30, 45, 60, ili 90 stepeni. U sledećem članku ćemo naći odgovarajuće vrednosti trigonometrijskih funkcija drugih uglova.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: