On-line učionica

2. decembar 2012.

Svođenje na prvi kvadrant

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:23 pm

Razmotrimo ugao od 150°. Ako nacrtamo ovaj ugao u koordinatnom sistemu, videćemo da je završavajući krak ovog ugla simetričan završavajućem kraku ugla od 30°, u odnosu na y-osu.

Slika244

Primetite kako završavajući krak ugla od 150° zaklapa ugao od 30° sa negativnim delom x-ose. Zato kažemo da je 30° referentni ugao za 150°. Formalno, referentni ugao ugla u koordinatnom sistemu je ugao koji završavajući krak zaklapa sa najbližim delom x-ose. Primetite kako je 30° referentan za mnoge uglove. Na primer, on je referentni ugao za 210° i za -30°.

Generalno, nalaženje referentnog ugla za dati ugao će nam pomoći da odredimo vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla.

Primer 1: Nacrtajte svaki od uglova i odredite njemu referentni ugao.

a) 140°

b) 240°

c) 380°

Rešenje:

Slika245

a) Krak ugla od 140° zaklapa ugao od 40° sa negativnim delom x-ose. Zato je referentni ugao 40°.

b) Krak ugla od 240° zaklapa ugao od 60° sa negativnim delom x-ose. Zato je referentni ugao 60°.

c) Ugao od 380° je jedna puna rotacija od 360°, plus dodatnih 20°. Zato se ovaj ugao isto završava kao 20°, pa je 20° njegov referentni ugao.

Ako je nekom uglu referentni ugao 30°, 45°, ili 60°, možemo odrediti koordinate tačke u kojoj se seku jedinični krug i njegov završavajući krak, pa možemo naći vrednosti šest trigonometrijskih funkcija tog ugla. Na primer, gore smo izračunali da 150° ima referentni ugao od 30°. Obzirom na njegovu vezu sa uglom od 30°, koordinate tačke u kojoj njegov krak seče jedinični krug su:

Formula699

Sada možemo naći vrednosti šest trigonometrijskih funkcija ugla od 150°:

Formula700

Primer 2: Nađimo koordinate presečne tačke završavajućeg kraka ugla od 240° i jediničnog kruga i upotrebimo ih da bi našli vrednost sin 240°.

Rešenje: Kao što smo već izračunali u prvom primeru, referentni ugao za 240° je 60°. Na slici ispod je prikazan ugao od 60° i još tri ugla na jediničnom krugu kojima je ugao od 60° referentan.

Slika246

Završavajući krak ugla od 240° predstavlja simetričnu sliku završavajućeg kraka ugla od 60° u odnosu na koordinatni početak. Zato su koordinate tačke u kojoj seče jedinični krug:

Formula701

y-koordinata predstavlja vrednost sinusa, pa je:

Formula702

Kao što je na slici iznad prikazan ugao od 60° i tri ugla kojima je referentan, možemo napraviti slične slike za 30° i 45°.

Slika247     Slika248

Poznavanje ovih koordinata će vam pomoći da nađete vrednost bilo koje trigonometrijske funkcije ovih uglova.

Primer 3: Nađimo vrednost ctg 300°.

Rešenje: Koristeći sliku iznad, videćemo da su koordinate tačke u kojoj krak ugla seče jedinični krug

Formula703

Zato je vrednost kotangensa:

Formula704

Takođe možemo koristiti koncept referentnog ugla i koordinate tačaka koje smo izračunali da bismo odredili vrednosti trigonometrijkih funkcija još nekih uglova. Ali o tome u sledećem članku😉

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: