On-line učionica

30. novembar 2012.

Trigonometrijski krug

Filed under: I razred,Matematika — jelena100janovic @ 5:41 pm

Ranije smo definisali trigonometrijske funkcije za uglove u pravouglim trouglovima. Možemo definisati iste funkcije i za uglove u koordinatnom sistemu (uglove rotacije). Razmotrimo jedan ugao u koordinatnom sistemu, čiji završavajući krak preseca krug poluprečnika r. Možemo posmatrati poluprečnik kao hipotenuzu pravouglog trougla:

Tačka (x, y) gde završavajući krak ugla seče krug nam govori dužine dveju kateta trougla. Sada možemo definisati trigonometrijske funkcije u funkciji od x, y i r:

A sada možemo proširiti ove funkcije na uglove koji nisu samo oštri.

Primer 1: Tačka (-3, 4) je tačka na završavajućem kraku ugla u koordinatnom sistemu. Odredimo vrednosti šest trigonometrijskih funkcija ugla.

Rešenje: Primetite kako je ugao veći od 90 stepeni i da završavajući krak leži u drugom kvadrantu. Ovo će uticati na znak trigonometrijskih funkcija.

Primetite da vrednost r zavisi od koordinata date tačke. Uvek možemo naći vrednost r pomoću Pitagorine teoreme. Međutim, često posmatramo uglove na krugu poluprečnika 1. Kao što ćete videti u nastavku, to nam omogućava da uprostimo definicije trigonometrijskih funkcija.

Jedinični krug

Razmtrimo jedan ugao u koordinatnom sistemu, takav da je tačka (x, y) na završavajućem kraku ugla istovremeno tačka na krugu poluprečnika 1.

Ovaj krug zovemo jedinični krug ili trigonometrijski krug. Sa r = 1, možemo definisati trigonometrijske funkcije na jediničnom krugu:

Primetimo da se na jediničnom krugu, sinus i kosinus ugla poklapaju sa x i y koordinatama tačke na završavajućem kraku ugla. Sada možemo naći trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla rotacije, čak i kvadrantnih uglova, koji nisu uglovi u pravouglom trouglu.

Možemo iskoristiti gornju sliku da bi odredili vrednosti trigonometrijskih funkcija za kvadrantne uglove. Na primer,

Primer 2: Upotrebite jedinični krug iznad da bi našli vrednosti:

a) cos 90°

b) ctg 180°

c) sec 0°

Rešenje:

a) Koordinate tačke u kojoj krak ovog ugla seče jedinični krug su (0, 1). Vrednost kosinusa je x koordinata, 0:

b) Koordinate tačke u kojoj krak ovog ugla seče jedinični krug su (-1, 0). Odnos x/y nije definisana, jer je y = 0, pa ctg 180° nije definisano.

c) Koordinate tačke u kojoj krak ovog ugla seče jedinični krug su (1, 0). Odnos 1/x je 1/1 = 1:

Postoji nekoliko važnih uglova na jediničnom krugu sa kojima ćete dosta raditi kroz svoje korišćenje trigonometrije, posebno 30°, 45° i 60°. Setite se da smo računali već trigonometrijske funkcije ovih uglova. Prvo, treba da znamo koordinate tačaka u kojima kraci tih uglova seku jedinični krug. Počnimo sa 30°.

Ovom trouglu je odnos stranica

Pošto je hipotenuza 1, i katete će biti duplo manje od brojeva iz razmere. Nije slučajno što su vrednosti koordinata tačke iste kao sinus i kosinus ugla koji ste već računali.

Obzirom da imamo koordinate presečne tačke, možemo naći vrednosti svih trigonometrijskih funkcija 30°. Na primer, kosinus je x-koordinata, dakle:

Pošto su koordinate razlomci, moraćemo malo da računamo da bismo našli vrednost tangensa:

U tabeli ispod su prikazane koordinate presečnih tačaka krakova uglova od 30°, 45° i 60° sa jediničnim krugom.

Ugao x-koordinata y-koordinata
30º √3 / 2 1 / 2
45° √2 / 2 √2 / 2
60° 1 / 2 √3 / 2

Možemo koristiti ove vrednosti da bi našli vrednosti svih šest trigonometrijskih funkcija ovih uglova.

Primer 3: Nađimo vrednosti svake od funkcija.

a) cos 45°

b) sin 60°

c) tg 45°

Rešenje:

a) Kosinus je x-koordinata tačke.

Formula696

b) Sinus je y-koordinata tačke.

Formula697

c) Tangens je odnos y-koordinate i x-koordinate. Pošto su za ovaj ugao x-koordinata i y-koordinata jednake, tangens je 1.

Formula698

Pitanjca za razmišljanje:

  1. Kako je moguće da neke vrednosti trigonometrijskih funkcija budu negativne?
  2. Kako je moguće da neke budu nedefinisane?
  3. Zašto su jedinični krug i trigonometrijske funkcije definisane na njemu korisne, i kada hipotenuza trougla u zadatku nije 1?

2 komentara »

  1. […] Trigonometrijski krug […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za prvi razred | On-line učionica — 4. januar 2016. @ 4:48 pm | Odgovor

  2. […] ćemo uzeti trigonometrijski krug o kome smo učili ranije i ucrtaćemo ga u koordinatni […]

    Povratni ping od Grafik sinusa i kosinusa | On-line učionica — 9. mart 2016. @ 7:04 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: