On-line učionica

16. jun 2012.

Sinusna teorema

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 1:30 pm

Naučili smo kosinusnu teoremu, koja predstavlja opšti slučaj Pitagorine teoreme za ne-pravougle trouglove. Znamo da možemo koristiti kosinusnu teoremu kada:

  1. su nam poznate dve stranice trougla i njima zahvaćen ugao ili
  2. su nam poznate sve tri stranice trougla

Ali, šta se dešava ako trougao sa kojim radimo ne zadovoljava ni jedan od tih uslova? To je trenutak kada uvodimo sinusnu teoremu.

Sinusna teorema je tvrđenje o vezi između stranica i uglova u proizvoljnom trouglu. Iako će sinusna teorema dati jedinstveno rešenje u većini situacija, postoje situacije u kojima je neodređena, što znači da možemo dobiti više od jednog rešenja. Istraživaćemo neodređenost sinusne teoreme kasnije.

Možemo koristiti sinusnu teoremu kada:

  1. su nam poznata dva ugla i stranica naspram jednog od njih ili
  2. su nam poznata dva ugla i stranica na kojoj leže

Izvođenje sinusne teoreme

U trouglu ABC na slici ispod, CE je visina iz temena C. Ovu dužinu visine ćemo označiti sa h.

Znamo da je

po definiciji sinusa. Ako se oslobodimo razlomka u obe jednačine i izjednačimo, dobićemo sinusnu teoremu.

ili

Proširujući ove odnose na ugao kod temena C i stranicu c, stižemo do konačnog oblika sinusne teoreme:

Dva ugla i stranica naspram jednog od njih

Jedan slučaj u kome možemo koristiti sinusnu teoremu je kada su nam poznata dva ugla u trouglu i stranica naspram jednog od njih.

Primer 1: U trouglu GMN na slici, nađimo dužinu stranice n.

Rešenje: Pošto su nam poznata dva ugla i jedna naspramna stranicu (g), možemo naći drugu naspramnu stranicu (n).

Primer 2: Nastavljajući rad na istom trouglu, nađimo ugao kod temena M i dužinu stranice m.

Rešenje: Ugao kod temena M je jednostavno

Da bi našli dužinu stranice m, sada možemo upotrebiti ili sinusnu ili kosinusnu teoremu. Pošto je sinusna teorema malo jednostavnija i nova, upotrebićemo nju. Nije važno koju stranicu i njoj naspraman ugao koristimo u proporciji sa uglom kod temena M i m. Sada ćemo upotrebiti stranicu g, jer je njena dužina tačna, a ne približna.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: