On-line učionica

3. jun 2012.

Kosinusna teorema

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:33 am

Sada ćemo upotpuniti naše znanje o trigonometrijskim funkcijama i trouglovima koji nisu obavezno pravougli. Prvo ćemo naučiti kosinusnu i sinusnu teoremu i uz Pitagorinu teoremu i odnose koji predstavljaju trigonometrijske funkcije primenićemo ih na proizvoljan trougao.

Izvođenje kosinusne teoreme

Trougao ABC sadrži visinu BD iz temena B na stranicu AC. Njenu dužinu BD označavaćemo sa h. Dužine stranica trougla ABC su a, b i c. Ako dužinu DC oznaćimo sa x, onda je AD dugo b x.

Pomoću Pitagorine teoreme u pravouglom trouglu ABD imamo:

U pravouglom trouglu BCD imamo:

pa je

Iz pravouglog trougla BCD takođe imamo da je:

odakle je

Možemo oristiti sličan proces da bi izveli sva tri oblika Kosinusne teoreme:

Primetite da ako stavimo da je bilo koji od uglova prav, onda je

pa kosinusna teorema postaje Pitagorina teorema.

Kosinusnu teoremu koristimo u određenim situacijama koje uključuju sve trouglove: pravougle, tupougle i oštrougle. Ona predstavlja opšte tvrđenje koje daje odnos između dužina stranica proizvoljnog trougla i kosinusa jednog od njegovih uglova.

Računanje treće stranice trougla

Jedan od slučajeva kada koristimo kosinusnu teoremu je kada su nam poznate dve stranice trougla i njima zahvaćen ugao u trouglu, a želimo da nađemo treću stranicu.

Primer 1: Trouglu na slici izračunajmo treću stranicu.

Rešenje: Pošto trougao DEF nije pravougli, ne možemo koristiti Pitagorinu teoremu ni trigonometrijske funkcije da bi našli treću stranicu. Međutim, možemo upotrebiti kosinusnu teoremu. Označimo dužinu stranice DF sa x. Njen kvadrat je jednak kvadratu ED, plus kvadrat EF, minus 2 puta ED puta EF puta kosinus ugla kod temena E:

Primetite kako smo odbacili negativan koren jer nema gemetrijsko značenje u ovom slučaju.

Primer 2: Jedan arhitekta dizajnira kuhinju za klijenta. Kada se dizajnira kuhinja, arhitekta mora obratiti posebnu pažnju na položaj šporeta, sudopere i frižidera. Da bi kuhinja bila efikasno organizovana, ova tri elementa treba da čine trougao. Taj trougao se zove „radni trougao“. Po pravilu, tri temena radnog trougla ne bi smela da budu na manjem rastojanju od 1 m, niti većem od 2 m. Na osnovu dimenzija trenutne kuhinje, arhitekta je postavio sudoperu na 1 m od šporeta i 1,7 m od frižidera. Ako je ugao pod kojim je sudopera u odnosu na šporet i frižider 103°, da li će rastojanje između frižidera i šporeta ostati u dozvoljenim okvirima?

Rešenje: Da bi našli rastojanje od sudopere do frižidera, moramo naći dužinu x. Da bi našli stranicu x, koristićemo Kosinusnu teoremu jer baratamo sa tupouglim trouglom (nemamo pravougli trougao u igri). Znamo dužine dveju stranica: od sudopere do šporeta i od sudopere do frižidera. Takođe znamo i zahvaćen ugao (ugao između dve poznate dužine) koji iznosi 103°. Dakle kvadrat nepoznate stranice je:

Ovaj rezultat se ne uklapa u radni trougao. Šporet i frižider su predaleko.

6 komentara »

  1. Браво, одличан је чланак! Данас сам са ученицима радио косинусну теорему! Опет сам Ваш чланак прочитао прекасно за ову годину!

    Komentar od Синиша Бубоња — 4. jun 2012. @ 7:28 pm | Odgovor

  2. U kom programu crtate slike? Za formule pretpostavljam da je u word-u?

    Komentar od Online rezervacija hotela — 25. jun 2012. @ 8:25 am | Odgovor

    • Slike radim u programčiću GSP – zgodan je, a onda napravim gif sličice u bilo kom programu za obradu slika. A formule su u word-u, pa opet pretvorene u gif sličice za blog😀
      Na početku je komplikovano, ali sa praksom postajem sve brža u tome😉
      Na WordPress-u može da se radi i u LateX-u, ali sam se sa ovim već navikla, pa mi je lakše.

      Komentar od jelena100janovic — 29. jun 2012. @ 4:42 pm | Odgovor

  3. Moze li pomoc,molim
    Koristeći sinusnu,dokazati kosinusnu teoremu
    Hvala

    Komentar od Abid — 7. oktobar 2015. @ 6:41 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: