On-line učionica

7. maj 2012.

Beskonačni geometrijski redovi

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:33 am

Razmotrimo sledeću situaciju:

Učestvujete u beogradskom maratonu od 42 km. Da biste završili trku, morate prvo preći polovinu staze, ili 21 km. Nakon što završite prvu polovinu trke, ponovo morate da pređete još polovinu puta do kraja, ili još 10,5 km. Nastavljajući ovim pravilom, uvek ćete prelaziti polovinu puta. Pa da li ćete ikada završiti trku?

Ova situacija možda deluje blesavo, ali predstavlja verziju problema koji je prvi put postavio pre par hiljada godina Zenon iz Eleje, grčki filozof koji je želeo da preispita postojeće ideje o vremenu i prostoru. U današnjem svetu, većina odraslih intuitivno razume rastojanje, brzinu i vreme, što nam omogućava da odgovorimo na postavljeno pitanje: da, završićete trku, mada to zavisi od toga koliko brzo trčite.

Isto tako možemo odgovoriti na ovo pitanje ako saberemo niz delova koje prelazite svaki put kada pretrčite polovinu preostalog puta: 21 + 10,5 + 5,25 + … Iako je ovo suma beskonačno mnogo brojeva, možemo naći vrednost ovog izraza. Do kraja lekcije naučićete kako da izvedete ovu vrstu računice.

Beskonačne sume se nazivaju beskonačnim redovima.

Beskonačni geometrijski redovi

Vratimo se našem problemu beogradskog maratona. Prošle godine smo naučili da gornju sumu možemo napisati na sledeći način:

Znamo da kada se delovi saberu, dobijamo 42. Ali kako je moguće da zbir beskonačno mnogo brojeva bude konačan broj?

Da bi našli sumu beskonačnog reda, trebalo bi da pogledamo neke međuvrednosti koje se zovu parcijalne sume:

Kako ćemo izračunati sumu za neki veći broj n? Setimo se formule:

Dakle, za veće n, će biti:

Kada n teži beskonačnosti, vrednost Sn izgleda teži 42. Govoreći o sumama, ono što se dešava je sledeće: kako se n povećava, n-ti član niza se smanjuje, pa n-ti član manje doprinosi vrednosti Sn. Kažemo da red konvergira i pišemo to u obliku limesa:

Kako n teži beskonačnosti, vrednost (1/2)n se smanjuje. To jest,

Možemo uraditi istu stvar sa bilo kojim geometrijskim redom, ako se članovi stalno smanjuju. To znači da količnik reda mora biti broj između -1 i 1: |q| < 1.

Zato, možemo sumirati beskonačni geometrijski red koristeći formulu:

Primer 1: Odredimo da li red 40 – 20 + 10 – 5 + … konvergira. Ako konvergira, nađimo sumu.

Rešenje: Količnik reda je

što je po apsolutnoj vrednosti manje od 1, pa red konvergira. Suma je:

Primer 2: Odredimo da li red konvergira i ako je tako kojoj vrednosti:

Rešenje: Količnik je 1/3 < 1, pa red konvergira vrednosti:

Primer 3: Odredimo da li 3 – 6 + 12 – 24 + … konvergira.

Rešenje: Ovaj red ne konvergira, jer je količnik -2.

1 komentar »

  1. […] red i njegova konvergencija 1 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 28. oktobar 2015. @ 8:11 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: