On-line učionica

30. april 2012.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:52 pm

Za izvođenje ovih formula, koristićemo adicione formule.

Ako su uglovi u gornjoj formuli isti, onda je


Znači, formula za sinus dvostrukog ugla glasi:

Isti postupak se može koristiti i u adicionoj formuli za kosinus, počinjemo od kosinusa zbira:

Ako izjednačimo uglove u gornjoj formuli, dobijamo:

Dobijamo formulu za kosinus dvostrukog ugla:

Mogu se izvesti još dva oblika ove formule koristeći identitet:

Zamenjujući sin2α = 1 – cos2α, dobijamo:

Zamenjujući cos2α = 1 – sin2α, dobijamo:

Dakle, ostali oblici formule za kosinus dvostrukog ugla glase:

Konačno, možemo izvesti i formulu za tangens dvostrukog ugla, koristeći formulu za tangens zbira:

Ako izjednačimo uglove u gornjoj formuli, onda

Dakle, formula za tangens dvostrukog ugla glasi:

Primena

Primer 1: Ako je sin α = 5/13 i α pripada drugom kvadrantu, nađimo sin 2α, cos 2α i tg 2α.

Rešenje: Da bismo izračunali sin 2α, prvo moramo naći vrednost cos α.

Pošto je α u drugom kvadrantu, cos α je negativno pa je cos α = -12/13. Dakle,

Primer 2: Izvedimo formulu za cos 4θ.

Rešenje: Razmišljajte o kao 2 · 2θ. Možemo koristiti bilo koji oblik kosinusa dvostrukog ugla, ali pošto izvodimo formulu za kosinus, upotrebićemo oblik u kome se pojavljuje kosinus, dva puta:

Primer 3: Ako je ctg x = 4/3 i x je oštar ugao, nađimo tačnu vrednost tg 2x.

Rešenje: Kotangens i tangens su recipročne funkcije, pa je tg x = 3/4, odnosno:

Primer 4: Dato je sin 2x = 2/3 i x je u prvom kvadrantu, nađite vrednost sin x.

Rešenje: Koristićemo formulu za sinus dvostrukog ugla. Pošto ne znamo vrednost kosinusa, zamenićemo:

i rešiti:

Ovo je bikvadratna jednačina. Uvodeći smenu t = sin2x, dobijamo 9t2 – 9t + 1 = 0.

Dakle, t1 ≈ 0,873 i t2 ≈ 0,1273. To znači da je sin2x ≈ 0,873 ili sin2x ≈ 0,1273 pa je sin x ≈ ±0,934 ili sin x ≈ ±0,357.

Primer 5: Dokažimo:

Rešenje: Počećemo od komplikovanije, desne strane:

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: