On-line učionica

29. april 2012.

Neke teoreme o graničnoj vrednosti niza

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:24 pm

Da bi lakše rešili neke limese, koristimo pravila za računanje graničnih vrednosti.

Teorema: Neka su (an) i (bn) nizovi takvi da je

Neka je c neka konstanta. Tada su sledeća tvrđenja tačna:

1. Granična vrednost konstante je ta ista konstanta.

2. Granična vrednost proizvoda konstante i niza je jednak proizvodu te konstante i granične vrednosti niza.

3. Granična vrednost zbira nizova je jednaka zbiru graničnih vrednosti nizova.

4. Granična vrednost proizvoda nizova jednaka je proizvodu graničnih vrednosti nizova.

5. Granična vrednost količnika nizova jednaka je količniku graničnih vrednosti nizova pod uslovom da je delilac različit od nule.

Primer 1: Nađite graničnu vrednost:

Rešenje: Upotrebićemo pravila iz prethodne teoreme. Da bismo to uradili, podelićemo i brojilac i imenilac sa najvećim stepenom n u izrazima:

Sada ćemo primeniti teoremu:

Primer 2:Nađite:

Rešenje:

Ponekad nije ovako lako naći graničnu vrednost niza. Za te slučajeve koristimo teoremu o dva policajca.

Teorema: Neka su (an), (bn) i (cn) nizovi. Neka je n0 prirodan broj. Neka za niz cn važi an < cn < bn za sve n > n0. Pretpostavimo takođe da je

Tada je i

Možete videti kakve ime teoreme ima veze sa njenim sadržajem. Nakon određene pozicije u nizovima, članovi niza cn se nalaze između dva policajca, tj. konvergentna niza sa istom graničnom vrednošću. Tada je granična vrednost niza cn primorana da bude jednaka graničnim vrednostima dva konvergentna niza. Pogledajmo primer.

Primer 3: Dokažimo da je:

Rešenje: Podsećam vas da se n! čita kao „n faktorijel“ i računa kao n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1. Želimo da primenimo teoremu o dva policajca umećući dati niz između dva niza koji teže istoj graničnoj vrednosti. Prvo, znamo da su svi članovi niza pozitivni. Znači da nam je potreban niz čiji su članovi veći ili jednaki članovima našeg niza počev od nekog n. Možemo pisati:

Pošto je svaki od faktora u drugoj zagradi manji ili jednak 1, onda je proizvod

Onda možemo konstruisati nejednakost:

Dakle,

Koristeći teoremu o računanju limesa, imamo

Dakle,

Po teoremi o dva policajca,

4 komentara »

  1. Јесам ли добро прочитао – теорема о два полицајца?🙂

    Komentar od metodicar — 29. april 2012. @ 8:34 pm | Odgovor

    • Da, upravo tako se zove😀 Kod nas…
      Na engleskom je Sandwich/Squeeze Theorem, odnosno teorema o sendviču/ukještavanju😉

      Komentar od jelena100janovic — 29. april 2012. @ 8:50 pm | Odgovor

      • Свашта ћу ја да научим.😀

        Komentar od metodicar — 29. april 2012. @ 10:32 pm

  2. […] Nizovi, njihovi limesi i konvergencija 1 2 3 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 28. oktobar 2015. @ 8:11 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: