On-line učionica

25. april 2012.

Konvergencija i divergencija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:54 pm

Nizovima možemo ispitivati konvergenciju. Kažemo da niz (an) konvergira ka A ako ima konačnu graničnu vrednost A. Takav niz opisujemo kao konvergentan. Slično, niz (an) divergira ako nema konačnu graničnu vrednost. Takav niz opisujemo kao divergentan.

Primer 1: Ispitati konvergenciju niza (ln n).

Rešenje: Niz (ln n) bezgranično raste kako n teži beskonačnosti. Hajde da potkrepimo ovu tvrdnju.

Prvo, ako je neki n veći od drugog, onda je i ln n takođe veći. Dakle, niz je rastući.

Da probamo da ga ograničimo. Neka je granica niza neki broj M. Znači, svi ln n će biti manji od tog M. Odatle sledi da će svi n biti manji od eM, a to je nemoguće, jer n teži beskonačno. Dakle nije ograničen.

Ovaj niz je divergentan, jer nema konačnu graničnu vrednost. Pišemo:

Primer 2: Ispitati konvergenciju niza (4 – 8/n).

Rešenje: Niz (4 – 8/n) konvergira ka graničnoj vrednosti A = 4 i zato je konvergentan. Kako ćemo ovo da pokažemo?

Prvo, niz je rastući, jer što je n veće, to je 8/n manje, pa je 4 – 8/n veće.

Drugo, pošto su svi n pozitivni, onda je 4 – 8/n manje od 4, pa je niz ograničen odozgo sa 4.

Ako nacrtamo niz za n = 1, 2, 3, …, videćete da se niz približava 4 kako n raste.

Probajmo da po definiciji dokažemo da je konvergentan. Neka je ε neki mali pozitivan broj. Sigurno postoji n takvo da je 8/n < ε. To znači da je 4 – 8/n > 4 – ε. Pošto niz raste, za svi članovi niza počev od tog n će biti veći od 4 – ε, a pošto je ograničen, biće manji od 4.

Pišemo:

Teorema: Ako je niz monoton (rastući, odnosno opadajući) i ograničen (odozgo, odnosno odozdo), on je konvergentan.

Primer 3: Ispitati konvergenciju niza 1, -1, 1, -1, 1, -1, …

Rešenje: Ovaj niz alternira između vrednosti 1 i -1. Ovaj niz se ne približava ni 1 ni -1 kako n raste. Kažemo da ovaj niz nema graničnu vrednost, odnosno

ne postoji.

Napomena: Svi nizovi pripadaju jednoj od četiri moguće kategorije:

  1. Grančna vrednost postoji i jednaka je A.
  2. Granična vrednost ne postoji.
  3. Niz bezgranično raste, divergentan je i granična vrednost mu je +∞.
  4. Niz bezgranično opada, divergentan je i granična vrednost mu je -∞.

Ako niz ima konačnu graničnu vrednost, onda postoji samo jedna vrednost za taj limes.

Teorema: Ako je niz konvergentan, onda je njegova granična vrednost jedinstvena.

1 komentar »

  1. […] njihovi limesi i konvergencija 1 2 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 28. oktobar 2015. @ 8:11 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: