On-line učionica

23. april 2012.

Granična vrednost (limes) niza

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:40 am

Interesuje nas ponašanje niza kada se vrednost n beskonačno povećava. Često se dešava da se u tom slučaju niz približava određenom broju, odnosno graničnoj vrednosti, ili limesu. Pogledajmo primer.

Primer 1: Nađimo graničnu vrednost niza

Rešenje: Možemo izračunati prvih nekoliko članova niza:

Možemo to i predstaviti grafikom:

Da bismo odredili graničnu vrednost, pogledajmo ponašanje grafika niza kako se n povećava, odnosno nastavlja da se kreće udesno ka pozitivnoj beskonačnosti. To znači da posmatramo tačke koje predstavljaju niz na desnoj strani grafika. Vidimo da se tačke niza približavaju x-osi, y = 0. Dakle, granična vrenost niza an je 0, kada n teži beskonačnosti. Pišemo:

Evo tačne definicije granične vrednosti niza.

Definicija: Granična vrednost niza an je broj A ako za svako ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da je |an – A| < ε za sve n > n0.

Setite se, |an – A| < ε znači da su vrednosti an takve da je A – ε < an < A + ε.

Šta znači ova definicija granične vrednosti niza? Evo još jednog primera.

Primer 2: Nađimo graničnu vrednost niza

Rešenje: Nacrtajmo nekoliko vrednosti:

Primetite kako je od šestog člana svaki manji od 0,3, a od trinaestog od 0,2. Ako je A = 0 i ε = 0,2, po definiciji imamo da je:

Nemaju svi nizovi graničnu vrednost.

Primer 3: Nađimo graničnu vrednost niza an = n + 1.

Rešenje: Da nacrtamo:

Pogledajmo sliku. Kako se n povećava i teži beskonačnosti, članovi niza an = n + 1 se takođe povećavaju. Ovaj niz nema graničnu vrednost. To pišemo:

Napomena: Ni u jednom od ovih primera nismo zvanično izračunali ni dokazali da je određena vrednost limes niza. Svi primeri su urađeni intuitivno! Cilj je da steknete osećaj šta je granična vrednost niza.

Advertisements

5 komentara »

  1. Limesi mi nikad nisu baš bili najomiljeniji, a verujem da ima još njih koji dele moje mišljenje. Zato je ovaj tekst preko potreban.

    Komentar od metodicar — 23. april 2012. @ 6:32 pm | Odgovor

    • Hm… Hvala, valjda… 🙂
      Nisam sigurna, ali nadam se da je posle ovog članka bar idejno jasno šta je limes niza?

      Komentar od jelena100janovic — 23. april 2012. @ 9:45 pm | Odgovor

      • Idejno je jasno! 😀 Šalim se, super je članak!

        Komentar od metodicar — 23. april 2012. @ 10:07 pm

  2. Hvala, hvala! 😀

    Komentar od jelena100janovic — 23. april 2012. @ 10:23 pm | Odgovor

  3. […] njihovi limesi i konvergencija 1 2 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 28. oktobar 2015. @ 8:10 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: