On-line učionica

18. april 2012.

Izvod kompozicije funkcija

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 1:13 pm

Napisaćemo ovde pravilo za nalaženje izvoda kompozicije funkcija oblika f g pomoću f i g. Ovo pravilo nam dozvoljava da nađemo izvod komplikovanih funkcija pomoću poznatih izvoda jednostavnijih funkcija.

Teorema: Ako je g diferencijabilna u tački x i f je diferencijabilna u tački g(x), onda je kompozicija funkcija f g = f(g(x)) diferencijabilna u tački x. Izvod kompozicije je:

Možda je lakši način da predstavimo ovu formulu, ako uvedemo smenu u = g(x) i nađemo f(u). Tada, prvo nađemo izvod funkcije sa u, a onda to pomnožimo izvodom od u.

Primer 1: Nađite izvod funkcije f(x) = (2x3 – 4x2 + 5)2.

Rešenje: Ovde je u = 2x3 – 4x2 + 5 i f(u) = u2. Izvodi su:u’ = 6x2 – 8x i f’ = 2u. Dakle,

Ovaj primer je najčešći tip kompozicija funkcija. To je stepena funkcija oblika

Dodaćemo zato i specijalni oblik izvoda kompozicije funkcija:

Primer 2: Koliko je y'(3), ako je:

Rešenje: Funkciju možemo napisati kao

Odavde prepoznajemo specijalni slučaj za n = 1/2. Njegovim korišćenjem, dobijamo

Da bi našli y'(3), prosto ćemo ubaciti x = 3 u izvod:

Primer 3: Nađite dy/dx za y = sin3 x.

Rešenje: Funkciju možemo napisati kao

Dakle

Primer 4: Nađite dy/dx za y = 5cos(3x2 – 1).

Rešenje: Neka je u = 3x2 – 1. Onda je f(u) = 5cos u. Dakle

Primer 5: Nađite dy/dx za y = [cos(πx2)]3.

Rešenje: U ovom primeru moramo primeniti pravilo izvoda složene funkcije dva puta jer imamo nekoliko funkcija uključenih jednu u drugu. Neka je u unutrašnja funkcija, a v najdublja funkcija.

Koristeći izvod kompozicije,

Primetite da smo u poslednjem primeru koristili oba pravila…

3 komentara »

  1. Interesuje me (posto sam se u vise navrata susretao sa problemom) kako se racuna izvod funkcije koja je zadata kao stepen dveju funkcija
    Na primer F(x) = (U(x) na V(x))
    Ili konkretno F(x) = x na x

    Nikako da nadjem kako se to resava…
    Unapred hvala🙂

    Komentar od Milan — 3. januar 2014. @ 9:41 pm | Odgovor

    • Prvo se napiše u obliku e na nešto, pa onda traži izvod… Konkretno: f(x) = x ^ x = e ^ (x ln x), pa je f'(x) = x ^ x (x ln x)’ = x ^ x (ln x + 1).🙂
      U opštem obliku F(x) = e ^ (V(x) ln U(x))…
      Nadam se da je jasno😀

      Komentar od jelena100janovic — 3. januar 2014. @ 9:50 pm | Odgovor

      • Jeste, hvala veliko🙂

        Komentar od Milan — 3. januar 2014. @ 10:15 pm


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: