On-line učionica

9. april 2012.

Funkcije i njihovi inverzi

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:02 pm

U Americi se temperatura meri pomoću Farenhajtove skale. Kod nas, i u ostatku sveta, ljudi koriste Celzijusovu skalu. Jednačina C = 5/9(F – 32) se može koristiti za računanje C, temperature u stepenima Celzijusa, ako je dato F, temperatura u stepenima Farenhajta. Ako napišemo ovu jednačinu kao što inače pišemo funkcije, imaćemo c(x) = 5/9(x – 32). Nezavisna promenljiva funkcije je temperatura u stepenima Farenhajta, a zavisna u stepenima Celzijusa. Na primer, tačka smrzavanja vode na Farenhajtovoj skali je 32 stepena. Možemo naći odgovarajuću temperaturu u stepenima Celzijusa koristeći funkciju c(x):

Ova funkcija nam dozvoljava da pretvaramo temperaturu u stepenima Farenhajta u temperaturu u stepenima Celzijusa, ali šta ako želimo da pretvorimo stepene Celzijusa u stepene Farenhajta?

Pogledajte ponovo gornju jednačinu: C = 5/9(F – 32). Možemo je rešiti po F:

Ako napišemo ovu jednačinu kao što pišemo funkcije, dobićemo f(x) = 9/5x + 32. Za ovu funkciju, nezavisna promenljiva je temperatura u stepenima Celzijusa, a zavisna je temperatura u stepenima Farenhajta. Na primer, ako je x = 0,

Sada pogledajmo zajedno funkcije c(x) = 5/9(x – 32) i f(x) = 9/5x + 32. Nezavisna promenljiva jedne funkcije je zavisna promenljiva druge. Ovo je neformalni način da kažemo da su ove funkcije međusobno inverzne. Formalno, inverzna funkcija je definisana na sledeći način:

Definicija: Za funkcije f(x) i g(x) kažemo da su međusobno inverzne ako je

Ili, koristeći znak za kompoziciju funkcija:

Sledeće oznake se koriste da bi prikazali inverzne funkcije: Ako su f(x) i g(x) inverzne funkcije, onda je

i


Takođe se piše i:

i

Zapamtite da f-1(x) nije isto što i 1/f(x).

Neformalno, definišemo inverznu funkciju kao relaciju koju dobijamo zamenjujući domen i kodomen funckcije. Na osnovu ovakve definicije, možemo naći inverznu funkciju zamenjujući uloge x-a i y-a u jednačini. Na primer, pogledajmo funkciju g(x) = 2x. Ovo je prava y = 2x. Ako zamenimo x i y, dobićemo jednačinu x = 2y. Deljenjem obe strane sa 2, dobijamo y = x / 2. Zato su funkcije g(x) = 2x i y = x / 2 međusobno inverzne. Koristeći odgovarajuće oznake, možemo pisati y = x / 2 kao g-1(x) = x / 2.

Primer 1: Nađite funkciju inverznu funkciji f(x) = 5x – 8.

Rešenje: Prvo ćemo napisati funkciju kao:

Onda ćemo zameniti x i y:

Na kraju ćemo rešiti jednačinu po y:

Primer 2: Nađite funkciju inverznu funkciji f(x) = x3.

Rešenje: Prvo napišemo funkciju kao:

Sada menjamo x i y:

I rešavamo po y:

Obzirom na definiciju inverzne funkcije, grafici međusobno inverznih funkcija su simetrični u odnosu na pravu y = x. Na grafiku ispod su prikazane funkcije c(x) = 5/9(x – 32) i f(x) = 9/5x + 32, zajedno sa osom simetrije y = x.

Pre nego što nastavimo, postoje dve važne stvari koje moramo zapamtiti o inverznim funkcijama. Prvo, zapamtite da „-1“ nije eksponent, već oznaka za inverz. Drugo, nemaju sve funkcije inverze koji su funkcije. U primerima koje smo do sada radili, našli smo inverze, a dobijena relacija je takođe bila funkcija. Međutim, neke funkcije nisu invertibilne, tj. u procesu „inverzije“ se ne dobija relacija koja je funkcija. Vratićemo se na ovaj problem kasnije kada budemo proučavali domen i kodomen funkcija i njihovih inverza. Prvo ćemo pogledati koje to funkcije jesu invertibilne.

8 komentara »

  1. Увод је фантастичан, одмах се види примена.

    Komentar od metodicar — 9. april 2012. @ 9:10 pm | Odgovor

  2. Ovo je najbolji način učenja matematike:
    prvo primeri iz života, onda definicija i na kraju primer rešenog zadatka.
    U slici i reči.
    Ne može da bude nejasno🙂

    Komentar od racunarstvoiinformatika — 9. april 2012. @ 9:13 pm | Odgovor

  3. Hvala oboma😀 Od srca… Lice mi je u trenutku poprimilo oblik baš ovog smajlija😀

    Komentar od jelena100janovic — 9. april 2012. @ 9:21 pm | Odgovor

  4. Браво!

    Komentar od Синиша Бубоња — 10. april 2012. @ 5:59 pm | Odgovor

  5. Svaka čast, oduševljena sam🙂

    Komentar od Aleksandra — 1. mart 2013. @ 1:57 pm | Odgovor

  6. šta znaci ona crta ?

    Komentar od jgh — 4. jun 2013. @ 6:29 pm | Odgovor

  7. […] funkcije 1 2 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: