On-line učionica

31. mart 2012.

Adicione formule za kosinus

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:20 pm

Adicione formule su formule kojima se računa cos(α ± β), sin(α ± β), tg(α ± β), … Ove formule su veoma korisne i mogu nam pomoći pri uprošćavanju izraza i rešavanju jednačina.

Da li je cos 15° = cos(45° – 30°)? Reklo bi se da jeste. Ovde ćemo istražiti i naći izraz koji će biti jednak cos(45° – 30°). Da bismo ovo uopštili, neka su dva data ugla α i β takvi da je 0 < β < α < 2π.

Počećemo sa jediničnim krugom i postavićemo uglove α i β u standardni položaj kao što se vidi na slici iznad. Tačka P2 leži na završavajućem kraku ugla β, pa su njene koordinate (cos β, sin β), a tačka P1 leži na završavajućem kraku ugla α, pa su njene koordinate (cos α, sin α). Postavite sada ugao α – β u standardnu poziciju, kao što je prikazano na slici ispod. Tačka A ima koordinate (1, 0), a tačka P3 je na završavajućem kraku ugla α – β, pa su njene koordinate (cos(α – β), sin(α – β)).

Trougao OP1P2 sa prve slike i trougao OAP3 sa druge slike su podudarni. (SUS – kraci uglova su dužine 1, a zaklapajući ugao je α – β). Zato su nepoznate stranice oba trougla takođe podudarne. To jest: AP3 = P1P2.

Primenjujući Pitagorinu teoremu na rastojanje na prvoj slici, dobijamo:

Na drugoj slici dobijamo:

Izjednačavajući dva izraza dobijamo:

Kvadrirajući sva četiri izraza i uprošćavajući dobijamo:

U dobijenoj formuli za kosinus razlike, možemo zameniti α – (-β) = α + β da bi dobili:

Tako da je:

što je formula za kosinus zbira.

Korišćenje adicionih formula za kosinus

Adicione formule za kosinus se mogu koristiti za izvođenje drugih formula.

Primer 1: Nađite ekvivalentnu formulu za cos(π/2 – θ) koristeći formulu za kosinus razlike.

Rešenje:

Znamo već da ovaj izraz važi jer smo proučavali sinusni i kosinusni grafik.

Adicione formule za kosinus se takođe mogu koristiti da bi našli tačne vrednosti kosinusa koje nismo mogli da izračunamo ranije, kao što su 15° = 45° – 30°, 75° = 45° + 30°, između ostalog.

Primer 2: Nađite tačnu vrednost cos 15°.

Rešenje: Upotrebićemo formulu za kosinus razlike gde je α = 45° i β = 30°.

Primer 3: Nađite tačnu vrednost cos 105°.

Rešenje: Može biti više od jednog para uglova koji se mogu sabrati (ili oduzeti) do 105°. Svaka kombinacija će dovesti do tačnog odgovora.

Ne morate rešavati zadatak na više načina, izaberite onaj koji vam deluje najlakše.

Primer 4: Nađite tačnu vrednost cos 5π/12.

Rešenje:

3 komentara »

  1. da li uvijek tacke P moraju biti na mjesTIMA kao sto su na slicu,da li moze tacka P3 DA BUDE U 4.KVADRANTU

    Komentar od dragana — 6. septembar 2012. @ 11:23 pm | Odgovor

    • Mogu da budu bilo gde, ali kada su ovako postavljene, najlakše se vidi kako teče dokaz. Zato se obično tako nekako crtaju. Kada jednom dokažemo formulu, kao u članku, posle je samo koristimo, pa nije važno gde su tačke.😉

      Komentar od jelena100janovic — 7. septembar 2012. @ 10:40 am | Odgovor

  2. […] nekoga ipak interesuje odgovor, može ga naći ovde i […]

    Povratni ping od Adicione formule (računanje tačnih vrednosti trigonometrijskih funkcija) | On-line učionica — 14. februar 2016. @ 4:10 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: