On-line učionica

18. mart 2012.

Kompozicija funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 4:10 pm

Do sada smo proučavali šta se dešava sa funkcijama kada izvršimo četiri osnovne operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje. Sada ćemo razmotriti drugačiju operaciju.

Funkcije se često opisuju pomoću „ubacivanja“ i „rezultata“. Na primer, pogledajte funkciju f(x) = 2x + 3. Kada ubacimo vrednost umesto x, dobijamo rezultat y, ili rezultat funkcije. Nalazimo rezultat ubacujući x, množimo sa 2 i dodajemo 3. Možemo ovo uraditi sa proizvoljnom vrednosti za x. Sada pogledajte drugu funkciju g(x) = 5x. Za ovu funkciju takođe možemo uzeti vrednost x, ubaciti x u g(x) i dobiti rezultat. Na primer, ako je x = 4, g(4) = 5 · 4 = 20. Šta se dešava ako onda uzmemo rezultat 20 i ubacimo ga u f?

Onda imamo f(20) = 2 · 20 + 3 = 43. Tabela ispod prikazuje nekoliko primera analognog procesa:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

g(x)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(g(x))

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

Proučavajući vrednosti u tabeli, možemo uočiti pravilo: sve konačne vrednosti rezultata f su za 3 veći od 10-ostruke vrednosti koju ubacujemo. Napravili smo novu funkciju u kojoj je g(x) = 5x ono što se ubacuje:

Kada ubacimo jednu funkciju u drugu, to nazivamo kompozicija dve funkcije. Formalno, pišemo kompoziciju funkcija kao:

ili:

Primer 1: Nađite f(g(x))g(f(x)), ako je f(x) = 3x + 1 i g(x) = x2.

Rešenje:

Primer 2: Nađite f(g(x))g(f(x)), ako je f(x) = 2x + 4 i g(x) = ½x – 2.

Rešenje:

U ovom slučaju, kompozicije su međusobno jednake, i obe su jednake x, originalnoj vrednosti ubačenoj u funkciju. Ovo znači da između ove dve funkcije postoji posebna veza. Važno je, međutim, napomenuti da f(g(x)) nije uvek jednako g(f(x)).

Kada računamo kompoziciju funkcija, kombinujemo dve (ili više) funkcija ubacujući rezultat jedne u drugu. Možemo takođe razdvojiti funkcije. Razmortite funkciju f(x) = (2x + 1)2. Možemo razdvojiti ovu funkciju na „unutrašnju“ i „spoljašnju“ funkciju. Na primer, možemo računati f(x) = (2x + 1)2 pomoću linearne i kvadratne funkcije. Ako je g(x) = x2 i h(x) = 2x + 1, onda je f(x) = g(h(x)). Linearna funkcija h(x) = 2x + 1 je unutrašnja funkcija, a kvadratna funkcija g(x) = x2 je spoljašnja funkcija.

Primer 3: Razdvojite funkciju f(x) = (3x – 1)2 – 5 na kvadratnu funkciju g(x) i linearnu funkciju h(x).

Rešenje: Najlakše je samo ono što je u zagradi proglasiti jednom funkcijom, a drugom ceo izraz, zamenjujući sa x kompletnu zagradu:

Razdvajanje funkcija nije obavezno jednoznačno. Na primer, postoji mnogo načina na koje bi mogli da prikažemo linearnu funkciju kao kompoziciju drugih linearnih funkcija.

3 komentara »

  1. Odlicno objasnjeno, svaka cast Jelena…

    Komentar od Mico — 13. jun 2012. @ 12:49 am | Odgovor

  2. […] Kompozicija funkcija […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: