On-line učionica

17. mart 2012.

Rešavanje trigonometrijskih jednačina II deo

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:49 am

Matematička umeća kao što su faktorisanje i uvođenje smene koje se koriste za rešavanje raznih jednačina su vrlo korisna za rešavanje trigonometrijskih jednačina. Kao i kod algebarskih izraza, morate voditi računa da izbegnete deljenje nulom dok vršite ove transformacije.

Primer 1: Rešite 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0 za 0 < x ≤ 2π.

Rešenje: Počećemo sa uvođenjem smene t = sin x.

Sada vratimo smenu.

Crtamo rešenja na jediničnom krugu.

Sa slike čitamo rešenja:

Primer 2: Rešite 2 tg x sin x + 2 sin x = tg x + 1 za sve vrednosti x.

Rešenje:

Ponovo crtamo.

Čitamo rešenja sa slike:

Pošto su nam potrebna sva rešenja, dodajemo po 2kπ, odnosno  na ova četiri rešenja.

Primer 3: Rešite 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0 za sve x iz [0, π].

Rešenje: I ovde možemo uvesti smenu t = sin x.

Neke trigonometrijske jednačine nemaju rešenja. To znači da ne postoji broj koji kada zamenimo umesto promenljive dobijamo tačan izraz. Crtamo sliku za moguća rešenja.

Čitamo rešenja sa slike:

Primer 4: Rešite 4sin3x + 2sin2x – 2sin x – 1 = 0 za x iz intervala [0, 2π].

Rešenje: I ovde uvodimo smenu t = sin x.

Crtamo rešenja:

Sa slike čitamo šest rešenja:

Pri rešavanju kvadratnih jednačina koje se svode na kvadratne ne moramo uvoditi smenu. Vrednosti za a, b i c određujemo na sličan način. Formulom ćemo dobiti dva rešenja i za oba dobijamo po jednu jednostavnu trigonometrijsku jednačinu.

Primer 5: Rešite 3ctg2x – 3ctg x = 1 po x na intervalu [0, 2π].

Rešenje: Ovo je kvadratna jednačina po ctg x.

Kada dobijemo ovako „ružna“ rešenja, ne možemo ih pročitati sa jediničnog kruga, ali ih moramo otprilike ucrtati da ne bi zaboravili neko rešenje.

Kao što vidite, imamo četiri rešenja. Digitron će nam obezbediti samo dva, ona „gornja“, a druga dva ćemo dobiti dodavanjem 180°, odnosno π.

Primer 6: Rešite -5cos2 x + 9sin x + 3 = 0 za vrednosti x iz intervala [0, 2π].

Rešenje: Ova jednačina se transformacijama svodi na kvadratnu po sin x.

Prvu jednačinu ćemo nacrtati, a druga nema rešenja.

Sa slike vidimo da su dva rešenja:

Da zaključimo, da bismo rešili trigonometrijsku jednačinu, možemo koristiti sledeće ideje:

  1. Uprostite izraze pomoću osnovnih identiteta.
  2. Faktorišite.
  3. Svedite na kvadratnu jednačinu.
  4. Budite obazrivi sa intervalima. Da li Vam sva rešenja upadaju u traženi interval?

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: